Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. V ERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 57
dig voorbeeld, in bijzondere aanmerking, de voelring (tore). Denkt men
een'cirkel, welks vlal gelegen is in het coordinaten-vlak xy, en het centrum in de as van x, op den afstand a van den oorsprong der coordiinaten, en laat men dezen cirkel (hebbende een' radius -r) om de as
van y omwentelen, zoo is de vergelijking der voortgebragte ringvormige
oppervlakte
{2.Jy2 -t a2t - 22 2 - 4a2(Z -t 2).
De snijding van dit oppervlak met een plat vlak zal kunnen wezent
ecn ovaal, een ingedrukt ovaal, een koppel van ovalen, eene lemniscata,
een koppel van concentrische of ook van niet concentrische, maar even
groole, cirkels, enz. Deze uitkonsten zijn te zeer bekend, om er opzetteljk
aanwijzing van te doen. Ten aanzien der snijdingen, welke linen van den
vierden graad opleveren, bestaan derhalve alley die vormen, welke tot de
cassinoïde behooren. De lemniscatischo snijdingen hecft men door elk snijvlak, dat tevens raakvlak is voor eenig punt van het convex-concave of
inwendige gedeelte des rings, Is b. v. dit snijdend raakvlak evenwijdig
aan de as van omwenteling, zoo ontstaat er eene volstrektelijk symmetrische,lemniscata, van welke de verge3ijking onder regthoekige coordinaten, als
de oorsprong in den knoop is, zal wezen
X$)+Y - = ty,22_a- }. (51)
Deze lemniscata behoort derhalve lot de soort, welke in ~ I, sub B, 2~,
is overwogen, en welke de vergelijking (25) tot algemeene aequatie heeft.
En wanneer a =2r, of r- a is, zal deze lemniscata overgaan in eene
bernouilliaansche, lebbende a lot excentriciteit of aV/2 lot halve assen.
Hierbij is ac> voorondersteld; stelt men a= r, zoo heeft de ring
geene opening; het snijdend raakvlak is daarbij een vlak, gaande door het
middelpunt en door de omwentelings-as, derhalve een meridiaanvlak; -
de doorsnjding bestaat uit twee even groote cirkels, die elkander uitwendig raken. De lemniscala kan dus overgaan in een stelsel van twee cirkels, wanneer de beide leden van hare vergelijking quadraten zijn, ofliever,
Hit IVv wan