Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

56 G. J. YERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LE3MNISCATEP.7
22 + (Y2-)2 + 22 p2
Wgaruit door eliminatie van z, na x 1-x2-, Y1=Y2-Y=, z1-z -z
te hebben gesteld,
(T2 -) 2 (1 - 2 )y2 _- (1J- a)2 2 p2 =
4 4x 2 (p2_ x2'- (y-a)2 }
Doze is de vergelijking der projectie op het vlakxy; opdat zij, indien
de projectie lernniscatisch is, den vorm hebbe van de algemeene aequatie
der lemniscaten van de eerste orde, zoo moet vooreerst de oorsprong der
coordinaten verplaatst worden langs de as y, in voege, dat zij kome in
den knoop der kromme lin, en ten anderen moet:, die nog onbepaald
is, dq voegzame waarde erlangen voor het ontstaan eener symmetrische
lemniscatische projectie. En men ziet ligtelijk, dat dit resultaat kan verkregen worden, wanneer men y =yl - u substitucert, en in de ontwikkelde aequatie en u zoodanig bepaalt, dat de coëfficienten der onevene
maglen van y en de geheel standvastige termen verdwijnen.
d. Wanneer do snijding van eene gebogene oppervlakte met een
plat vlak, eene lemniseatische projectie heeft, moet de doorsnijding zelve
eene vlakke lemniscata wezen. Zoodanige oppervlakken, welker doorsneden met eenig willekeurig plat vlak, of altijd, 6f meestal, lemniscatisch
zijn, zou men lemnniscatische oppervlakken kunnen noemen, al waren dan
deze doorsneden niet altijd van een eigenlijk gezegden lemniscatischen
vorm, mils slechts met dezen vorm verdant. De omwentelings-oppervlakte,
hebbende eene lemniscata tot beschrijvende lijn, de kegel- en cylindervlakken, hebbende eenige lemniscata tot rigtlijn, geven cr, als van zelve,
voorbeelden van. De lemniscatische oppervlakken van de eersto orde zijn
oppervlakken van den vierden graad, en onder deze komt, als merkwaardig