Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 55
lipsoide of van een' bol met een' cylinder, of ook zelfs bi de snijdingvan
tweo cylinder-vlakken. Indien b. v. eene ellipsoïde of een bol door eene
kegelvlakte gesneden wordt, is de kromme van doorsnijding zelve lemniscatisch, namelijk eene sphaerische lemniscata op den bol, of eene conische
lemniscata op don kegel. Bij do snijding van een' bol en van een' cylinder, kan op geen dezer oppervlakken eene lemniscatischo kromme lijn
geboren worden; maar voor zekeren bijzonderen stand van het projectievlak, kan de projectie der kromme lijn van doorsnijding eene strikvormige
gedaante erlangen.
Zij een cirkelvormige cylinder, -hebbende cen' radius r; hare as ga
door den oorsprong der coordinaten, en do beschrijvende lijnen denke mon
venwijdig aan het coordinaten-vlak y. Zij ook een bol, wiens radius
is p; het centrum zij, op een afstand van den oorsprong =a, in de as y
gelegen; zoo dan p is > a-r, zal er sniding van den bol en van den
cylinder plaats grijpen. De kromme lijn van doorsnijding zal scene geslotene kromme lijn wezen; haro projected op het vlak x z is eene lijn van
den vierden graad; die op het vlak x y is eene parabola, of wel een parabolische boog, en dus eene opened kromme lijn. Doch men draaije nu
den cylinder opwaarts,' zoodat zije as, welke oorspronkelijk gerigt ware
langs de as van x, wel in het vlak x.z blijve, maar met de as w een' hock
make, van welke de goniolmelrische tangens is r; hierdoor ondergaat de
figuur der projectie op het vlak x z geene verandering, maar die op het
vlak wy verkrijgt van lieverlede een ander beloop, en in zekeren hellenden stand van den cylinder zal dit beloop lemniscatisch wezen. Men kan
zich hiervan, met cen weinig nadenken, ligtelijk overtuigen, en de mogelijkheid ook uit do vergelijking der projectie opmaken. Voor de aequatie
van de cylinder-oppervlakte, bij den vooronderstelden hellenden stand der
as, vindt men,
tr212. (l+ t2)2 + Zu-2 l, -r 1(l+To z
torwvij de aequatie Tan den bol is
2