Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

54 G.. J, VERDAM, BIJDRAGE -TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN.
van welke de raaklijnen, gaande door den knoop, loodregt op elkander
staan, zoo verkrijgt men in geen geval de lemniscata van Bernouilli. Maar
de snijding van cen' bol en kegel, in geval van dezen do zoogenaamde
tophoek regt is, levert cene projectie op, welke is eene merkwaardige lemniscata; want de laatst verkregene vergelijking is dezelfde als de vergelijking (37) der lemniscata, over welke in ~, sub C, gehandeid is, gelijk
dan ook, in eone noot aldaar, de wording dezer lemniscata uit de projectie
der doorsnijding van een' bol en kegel reeds is vermeld. Doch het meer
bjzondere, aan dezo lemniscata toekomende, kan ecrst te dezer plaatse
worden opgemerkt, namelIjk: dat zij is de projectie eener a haerische
lemniscata, op de vooronderstelde wljze ontslaan, en zich juzist over
do helft van het bolvorm ig opperviak zuistrekkenzde, vcemits de halve
as r der lemniscatische projectie juist gelijk is aan den straal des bols, en
dus juist is de projected van eon cirkel-quadrant.
Men vindt cvenwol lemniseaten uit ecen soortgelijko doorsIniding van
een kegel en cylinder, of uit die van een kegel en van cene elliptische paraboloïde. De snijding van eene ellipsoïde en van eene tweevlakkge hyperboloïle
geeft tot projectie, op een der voorname middenvlakken, ovalon of eiron0
den, met soortgelijke figure uit den keel verkregcn, e nmet de ovalen
van Cassini in verband staande. Om de wording van geheel symmerisclhe
lemniscaten uit den kegel en den bol, of de ellipsoïd e o verklaren, was
bet ook noodig, scene der assen van de ellipsoïde of eene middellijn van
den bol to doen invallen met eene der imaginaire assen van den keel.
Wil men evenwel de zaak uit een algcmeener oogpunt beschouwen, en
ook op scheove en on-symmetrische lemniscaten letten, zoo moet men deze
beperking uitsluiten. Doch het opzetteljk onderzoek van de nu opgenoemrde bijzondere punten, gelijk ook de toepassing der algemecene formnu
len (8) en (9) op eenige der bovenstaande vergelijkingen, b. v. (48) en
(50), wordt thans nagelaten, Met een enkel woord echter verdient nog
melding gemaakt te worden van het ontstaan eener lemniscatische projectie
van eene niet vlakke kroimme lijn, verkregen door do snijding van eene ellip