Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G-. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 53
{fq2(,p2+72r2)X2 + p2(72r2-a 2y2)y2} 2 + p4q4y4(d2-r2)2 =
-=2p^2q2y2 {q2[c2p2 (d2+r2) 2r2(d_2 2)]X2_
-p2[32q2 (d2+r2) +2r2 (d2-r2)]2},.,. (47)
en deze is de algemeene aequatie der horizontale projectie van de doorsnijdings-kromme der ellipsoïde met den kegel. Zi heeft den algemeenen
vorm der vergelijkingen van lemniscatische kromme lijnen der eerste orde.
Naar gelang d eene andere waarde heeft, zal de geprojecteerde kromme
eene andere figuur hebben, en het is ligtelijk in te zien, dat deze figuur
zal behooren tot twee der vormen van de cassinoïde, en of uit twee af —
gescheiden ovalen zal bestaan, of eene lemniscata zal zijn. Dit laatste
is alleenlijk het geval, wanneer één der toppen van de as 2 r der ellipsoïde
door het middelpunt des kegels gaat; dus wanneer d=r is, en alsdan
wordt de vergelijking (47) die eener eigenlike lemniscata, namelijk:
{q2(~2p2 +72r2),2+p2(72r,2- 2q2)y2} 2= 4p4q4r2;2(a2x2-2y2) (47,)
Voor den regten cirkelvormigen kegel is aCB, en voor dien, welks
beschrjvende ljn een' halven regten hoek maakt met deas, is cc==: y;
ergo
{2 (p2+r) x2 p2 (2_ 2) 2 } 2 = 4p4q4r2 (X2-y2)..(48)
De snijding van ecn' bol en elliptischen kegel zal, wegensp=-q=r,
geven
{(a+2-t2) + (72 —2)y2} 2 =4 2y (2o2 —_ y2). (49)
Is de kegel regt, zoo is a =_, en
{(,2+72).2_-(~2_72)y2}2= 4r22y27 (2y2)... (50)
Is bovendien nog de hoek, tusschen de overstaande beschrijvende linen
des kegels, regt, zoo is eenvoudiglijk
-4 = r2 (x2_ —y2).
Hoezeer uit deze vergelijkingen blijkt, dat uit de snijding van ecn
ieliptischen of cirkelvormigen kegel wel kunnen voortkomen lemniscaten,
G 3 van