Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. — VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCIIOUW1NG DER LEMNISCATEN. 51
Construeer eene parabola, hebbende eene gegevene Iljn d tot parameter.
Neem van deze parabola de ordinaat, hebbende p tot abscis, en beschrijf
met dezelve, als radius, uit het centrum der gelijkzijdige hyperbola, een
cirkel; deze snijdt de hyperbola, in het algemeen, in vier punten, welke
zullen zijn punten der lemniscata van BERNOUILLI. Want de radius van den
cirkel is / dp, en daarom de vergelijking van den cirkel
22 -+.2 = dp.
Stellende nu in deze, en in de voorgaande vergelijking, xI ==' - 2 =- -
en y =-2 =Y 9, en eliminerende p, zoo komt juist de aequatie der
bernouillaansche lemniscata.
De overweging van bijzondere gevallen, overeenkomstig particuliere
waarden van a, b, c en zelfs overeenkomstig de teekens, die zij zouden
kunnen hebben, geeft stof tot uitbreiding dezer beschouwing; doch het
ligt buiten nijn oogmerk, hierover neer uit te weiden.
e. Door het betoogde sub a en b wvordt aangeduid de wording van
lemniscaten uit of door middel van kromme lijnen. Thans zal worden
aangewozen, hoe de lemniscatische kromme linen uit de snijding van
gebogene oppervlakken kunnen voortkomen, en vwel, in de cerste plaats,
hoe de lemniscaten kunnen beschouwd worden te zjn de projectieën der
doorsnijding van gebogene oppervlakken. Bg voorkeur, en om de reeks van
beschouwingen niet te zeer te verlengen, zal Lier tot voorbeeld genomen
worden de snijding van oppervlakken des twecden graads. Oppervlakken
van hoogeren graad kunnon nogtans evenzeer lemniscatische snijdingen geven; zonder van (de snijdingen met platte vlakken te spreken, heeft men
b.v. ook lemniscatische projectieën uit de snijding van eenig oppervlak des
tweeden graads met een' kegel des vierden ofeens hoogeren graads,hebbende
eene lemniscata van de eerste, of van eene hoogere orde, tot rigtlijn.
G 2 Zij