Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

50 G.. ERDAM- BIJDRAGE TOT DE BESCIHOUWING DER LENMNISCATEN
Neemt men voor p eene grootere waarde, b. v.
)9 fI. +,
zoo heeft men eene hyperbola, walker halve cerste as is p, en de uitdrukking der waarde van de halve eerste as der overeenkomstige ellips
zal wezen:
{ b2 ) j * ' b2 '
C2
en dus kleiner dan 3 i -+ -; ergo is, voorbij genoemde grens, de snijding
b2
der ellipsen en hyperbolen onmogelijk.
Deze constructie van lemniscaten, door gelijkvormige ellipsen en hyperbolen, leert ook deze waarheid, welke vroeger, in I, reeds door voorbeelden bleek: dat vele lemniscaten zeer onderscheiden kunnen zijn ini
vorm en afmeting, en nogtans nabij den knoop hetzelfde beloop hebben.
Want alle lemniscaten, bogrepen in de gevondene aequatie, zullen, zoo
lang. dezelfde waarde heeft, ook dezelfde raaklijnen in den knoop, en
dus aldaar hetzelfde beloop hebben, terwijl overigens vorm en afmeting
van a, b, c afhangen, aan vwelke men, in elke volledige constructie, telkens eene andere waarde zal kunnen geven,
Voor de gowone lemniscata wordt de constructie eenvoudiger. Stelt
men namelijk a-=b, a-= -, zoo is
c4
(X2 + 2)2 = (2 _y2),
waarvoor, vermits (c: a4) eene verhouding is, kan geschreven worden
( +y2)2 = d (2 _y2)
en de constructie komt alsdan hierop neder.
Construeer, met eene willekeurige halve as p, eene gelijkzijdige hyperbola,21- y2 dp2
2ou