Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 49
vorgelijking, onafhankelijk moetende zijn van elke waarde van p, klaarblijkelijk gevonden wordt door 1~. do coôrdinaten x, y1 en xz, Y,
welke in de vergelijkingen (x) en (1) voorkomen, gelijk te stellen aan de
loopende coordinaten x cn y van de begeerde kromrne lijn; 2~. door alsdan den veranderlijken parameter p uit do genoomdo vergelijkingen te
elimineren. Zulks doende, komt er
(62 x2 + a2 yg2)2 = (322 - 2 y2).... (46)
Hierdoor is dan betoogd eene wijze, waarop de vergeliking (5) kan voortkomen, en tevens eene wijzo van ontstaan of van wording eener kronrme
ijn of eener soort van kromme ]ijnen, hebbende do vergelijking ()) tot
algemeeno aequatie. Dat deze kromme lijnon lemniscaten zullen moeten
wezen, is ligtelijk in te zien, zoo men de sniding der opvolgende ellipsen
en hyperbolen overweegt,oen over de verandering van derzelver grootte, bij
de trapswgze vermeerdering van p, een weinig nadenkt. - Tot zekere grens
heeft men met elk paar ellipson en hyporbolon steeds vier snijpunten;
bij die grens evenwel slechts twee raakpunten, en voorbij die grens houdt
de snijding op, ten blijk, dat de kromme begrensd en gesloten is. Die
grens nu is p c2; want met deze waarde van p zullen de vergelijb2
kingen der hyperbola en ellips wezen
94 C4
[;2 X2 _ 2 32 _
b4
b2 22 + a2 Y2 =
Zoowel de ellips als de hyperbola zal derhalve tot eerste as of lialve eerste
as hebben eene lijn ==.. Ergo kunnen deze kromme linen elkander niet snijden, maar raken elkander in de gemeenschappelijke toppen
der eerste assen.
G Neenmt