Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCLIOUWING: DER LEMNISCATEN. 47
b. Om de bijzondere soorten van lemniscaten der eerste orde te kunnen construeren, indien men dezelve als omgekeerde kromme lijnen beschouwt, moet men de bijzondere soorten van hyperbolen kennen, uit welke
zij, door omkeering van de getallen-waarden der voerstralen, onlstaan.
Doch men kan ook eene geheel- eigenaardige wording aan de lemniscaten
toeschriven, door ze aan te merken ais kromme lijnen, welker punten
verkregen worden bij de snijding van gewone hyperbolen met ellipsen, of
ook met cirkels, welker parameters, voor elke nieuwe groep van punten,
op eene regelmatige wijze veranderen, en wel met tusschenkomst eener
parabola; zoodat, op deze wijze, de lemniscaten uit de gewone kegelsneden haren oorsprong ontleenen.
Men schrijve de vroeger beschouwde algemeene vergelijking (2) der
lemniscaten van de eerste orde onder dezen vorm:
(62+2 a2y2)2 = c4 (22 -.a2y2).... (y)
alsdan moet aangetoond worden, dat deze vergelijking kan ontstaan uit de
eliminatie der veranderlijke parameters, voorkomendo in de vergelijkingoen
van eene hyperbola en eener ellips, welke elkander snijden, en telkens van
afmeting veranderen. De wet van verandering dezer afmetingen zou verschillend kunnen wezen, doch om de mogelijkheid of het. eigenaardige dezer niet onbelangrijke wording der lemniscaten aan te toonen, strekke alleenlijk het navolgende.
Men denke eene hyperbola, hebbende eene halve eerste as =p, terwijl
de betrekkitig of verhouding tusschen de tweede en eerste as zij = (/?: c),
De vergelijking van deze hyperbola zal zijn
/32x2 -a_\2 1=p2j32 **.(x)
Indien men, in deze vergeljking, p willekeurig laat veranderen, zal
7ij de vergelikingen opleveren van alle gelijkvormige hyperbolen, welker
asymp