Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

42 G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMN:ISCATEN.
Stelt men / (1 -c2)= q zoo kan men deze vergelijking schrijven
onder den vorm
4 i - -(1 1- C2 s i. 2 (4 1 )
(1 - casim.2cp)a
overeenkomende met of begrepen in den algemeenen vorm (3) der poolvergeliking van de lemniscalische krommo lijnon der eerste order.
Deze lemniscata kan nimmer eene bcrnouilliaansche worden, wijl de
hock, tusschen de- as en de centrale tangenten, altijd boven 45~ blijft,
zjnde het maximum der waarde van dien hoek bepaald door de betrekking
sin / ( - q);
c
daar nu de straal van den bol -1 is, zal c steeds kleiner dan 1 moeten
wezen (5), on voor elko waarde van c, tusschen O en 1, zal de waarde
van sin2 cp altijd >i, en dus cp > 45~ worden; c==O kan alleenlijk
sin.
(5) Dit wordt hier kortheidshalve in het algemeen gezegd; doch de eigenlijke grootste
grens voor de waarde van c is niet alleenlijk kleiner dan één, maar kleiner dan 2 /3. Bij
de beschouwing der projectie van de sphaerische lemniscata wordt namelijk voorondersteld,
dat deze kromme lijn zich niet uitstrekke tot in de hemisphaer, beneden het projectie-vlak
gelegen. Is c =-, en = - of q-, dan is de grootste sphaerische voerstraal p juist
= een quadrant, en de projectie van dezen voerstraal moet dus aan den straal 1 des bols
gelijk wezen; hetgeen ook blijkt uit de formule (41) als men =0 en -=q stelt. Hoezeer
dan, op den bol, sin,e alle waarden han hebben van nul tot één, moet men, om geene
projectie te verkrijgen, welke van de lemniseatische figuur afwijkt, de waarde van c= sin.
kleiner dan I V/3 stellen. Voor grootere waarden van q, boven., zou het ook kunnen
gebeuren, dat de formule (43) eene negatieve uitkomst voor den inhoud opleverde, hetgeen
inderdaad zeer wel kan plaats vinden, als de sphaerische lemniscata tot in de onderste helft
van het oppervlak des bols (en dus beneden het vlak van projectie) isuitgestrekt, en diensvrolgens eene projectie heeft, bestaande uit deelen, welke aan beide zijden van het vlak van
projectie zijn genomen; want de inhoud van het eene deel moet daardoor, ten opzigte van
dien des anderen deels, als negatief aangemerkt worden bij het integrereni