Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G J. VERDAM, BIJDR&GE TOT DE BESCHOUWING DER-LEMNISCATEN.- 41
2,1 i COS.,
1 -- sin. 2 sin. 2 (p
Deze is de vergolijking deor sphaerische lemniscata, door ROBERTS opgegeven in een artikel, voorkomende in Deel VIII, pag. 263, van het
Journal de mathematiques, par LIOUVILLE, en uit welke vcrgelijking, door
dezen wiskundige, de rectificatie der sphaerische lemniscata is opgemaakt.
De lengle der bogen van deze niet vlakke kromme lijn hangt af van eene
elliptische functie der eerste soort, hebbende een' modulus, van welken de
hoek tusschen 0 en 45~ kan veranderen, ter, bij de vlakke lemniscata,
de modulus standvastig is (4).
De orthogonale projectie der sphaerische lemniscata op het vlak van
een' grooten cirkel, loodregt staande op de middellijn, welke men door
den knoop der sphaerische krommc lijn getrokken kan denken, is cene
vlakke lemniscata, van welke de central poolvergelijking zeer gemakkelijk
uit de bovengestelde aequatie wordt afgeleid. Want do hoek p blijft in de
projectie onveranderd; de projectie van den boog p wordt eene regte lijn
r, zoodat r = sin.o is; eveneens wordt de projectie van den boog a eene
Iijn c, die =sin. is, en hiermede wordt de vergelijking der projectie van
de sphaerische lemniscata
42- V( -c2) 4 (1 -c2)
1-c2 sin.2 qp (! — c2 sin.2 )2
Stdet
(4) Voor het oogmerk des onderzoeks van ROBERTS is de vorm der vergelijking van de
sphaerische lemniscata zeer geschikt. Wilde men den vorm meer overeenkomstig met dien
der poolvergelijking van de vlakke lemniscata stellen, dan zou men, door b.v. cos.2 p tot
tang.2. p te herleiden, hebben
(1-cos. )' -- sin.2 E. cos. 27
a 2 cos. s;
want bij den overgan svan het sphaerisch vlak, tot het platte vlak gaat deze vergelijkingook
over in de gewone, poolvergelijking der lemniscata van BEP.RouILLI,
F