Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 39
overeenkomst tussehen de bijzondere gevallen van m 1, zoo voor de
gestelde vergelijking, als voor die, welke uit de vergelijking der lemniscata
van Bernouilli wordt afgeleid. Bij dezo laatste heeft de cirkel eene standvastige middellijn; bij do eerste is de middellin veranderlijk met den voerstraal. Mon kan de kromme lijn dan ook gemakkelik met den cirkel, die
2p tot straal heeft, en met een anderen, die, r willekeurig nemende, 2p- r
tot middellijn heeft, construercn. Ook indien men eene parabola construeert,
hebbende p tot brandpunts-afstand, en dat men op de voerstralen, uit het
brandpunt getrokken, deelen neert, die aan de projectieën dezer voerstralen op de as gelijk zijn, zullen de uiteinden dezer deelen punten van de
kromme lin wezen, hetgeen dadelijk blijkt uit de pool-aequatie
2p. cos. cp 2p
r' === — --- —; === -- - cos. coS..
1 +- cos. co 1 + cos. cp
Hoe eenvoudig ook de vergeljking dezer kromme lijn moge schijnen,
zoo hangt hare rectificatie van eene zamenslelling van elliptische integralen
af, veel meer ingewikkeld zijnde dan de formule, zoo even, in de onmiddelgk voorgaande beschouwing verkregen.
Neemt- nmen p =1, zoo heeft de hyperbolische lijn, welke de omgekeerde kromme der overwogeno lemniscata is, tot pool-acquatie
p2= 1 — +2+cos.2 }
cos. 2cp
ergo is het quadraat van haren voerstraal geljk aan - van de som der
quadraten, beschreven op de overeenkomstige voerstralen eener gewon!e
lemniscafa en der overeenstemmende gelijkzijdige hyperbola, en op de koorde
van het quadrant eefs cirkels, hebbende do halve as der lemniscata en der
hyperbola tot straal; - indien de parameter niet = 1 ware, zou hetzelfde
klaarblijkelijk nog plaats vinden ten aanzien van het p-voud des voerstraals.
Dit is het eenige belangrijke, dat van de hyperbolische lijn, die als grondlijn van de beschouwde lemniscata kan aangemerkt worden, vermelding
ver