Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

38 GG J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN.
aanzien van de termen, die met eenige elliptische funclie worden gemultipliceerd, komt dit neder op het verdubbelen van dezelve, cn op het vernenigvuldigen met de complete functieën. En wat betreft de volkomen
geintegreerde termen, deze hebben, voor beide de grenzen, dezelfde waardijen, en vervallen alzoo uit de integraal. Ergo zal de formule voor de
lengte van het lemniscalisch quadrant çlen vorm hebben van:
=(4p V 8) A F'( + B. E' () + C. n' (n, c)}.... (40)
De parameter n is hier kleiner dan één, maar positief; denzelven
cot.2 o stellende, zoo wordt de complete functie n afhankelijk gemaakt
van E en F, door middel van de formule
'(n.e) = i ~S- ) { CO j rtange.O'(b. O)F'(c) + [F'(c)-EE'(c)]F(b'.) -F' (c)E(b,o) }
(zie LEGENDRE, Traite' etc. I, pag. 134), in welke b -=/(1-c2) is. De
substitutie hiervan en de.verdere ontwikkeling worden nagelaten, aangezien de coëfficienten van F en E, zelfs bij overbrenging der volstrekte getallenwaarden van nm,c,b, zeer zamengestelde uitdrukkingen worden.
De vorm der einduitkomst verschilt evenwel zeer weinig van dien der formnule (23).
Stelde men, even ais SERRET voor de gewone lemniscata deed, meer
algemeen:
rn (2p~)" cos. m p
~ == 12 pY --
l (i cos. mr)
dan zou men, voor het geval van m = 1, verkrijgew
r =(2p - r)cos. q
Bij de gewone lemniscata zou deze vergelijking zijn r peOS. P, len
behooren tot een' cirkel, hebbende p tot middellijn. Hier is de verkregene
vergelijking striktelijk wvel die eener lijn van den vierden graad, maar zg
heeft den vorm yan de vergelijking eens cirkels, en er bestaat dus eenige
oVTer-: