Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

36 G.. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCIOUWING DER LEMNISCATEN.
worden, wijl deze, voor het geval van b2 =0, eerst nog eene wiziging
of eenvoudige herleiding zou mooten ondergaan, daarin bestaande,dat men,
/32
alvorens b2 =0 te stellen, voor - schrijve q, daarna q=p, en alsdan
b -O in die termen, welke b nog inhouden. Hierdoor vindt men voor den
inhoud der geheele lemniscatische ruinte _p2', en dus ~ grooter dan de
ruimte, ingesloten door do lemniscata van Bernouilli, zoo deze dezelfde lengte
van as heeft; en deze uitkomst was vroeger reeds bekend.
Door- d rectificatie-formule (9) verkrjgt men:
2p ocp g ços2 2cp (1 +cos. 2cp)2 + sin. 2 cp ( -cos. 2cp)2
(t~ -co.2) 2 + cos. 2pJ
2pC Op / os. 22p + in.2 2fp tang.4p
1+ -cos.2 cp cos. 2cp
os p 13tang.2 cp 4tang..2
iJ08S.~+ r 1-tang. 5D c
Om deze formule tot elliptische integralen te brcngen, stelle men
ang. qp = sin., waardoor zij zal overgaan in
p _.rp {t 3-3 sin.2 + 4-sin.4 4}
{1-3 s in.2 tp - 4 sin.4 J }
p a. tang.p 1 - tang.2 p -- 2 tang.4,
(1 tang.2 2 ) 1/{1 -tang. 2" + 2tang:4i}
Hierin nu wederom 2 tang.4 = talg.4- o 0, zoo komt men tot
4- p (P^8.)_o _ 91 —1- (2+ -t ~ 1/2) sin. 2
{(-(t 1-2) sin.2,}2 'V(1 {- (2+ — 2 /2) sin.2}
Subslituerende sin.2 c = -. (1 -- cos. w), vermenigvuldigende teller
en noemer van het gebroken met {(1 +- 1/2)- (l- 1/2) cos. } 2,
en herleidende daarna behoorlijk, zoo ontstaat eindelijk:
bs