Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

34 G. J. ERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATIFN.
Do vcrgelijking (37) is een bijzondere vorm van de vergelijking (14),
en, even als deze, heeft zij betrekking tot eene lemniscatische kromme ljn,
van welke - omdat y2, in de nabiheid van den knoop, hoogstens -— = 2
kan zijn, of ook, op oneindig kleinen afstand van den knoop, werkelijk
y2 =t2 zal wezen - de tangenten, die door den knoop gaan, een' halven
regten hoek met de as 2p zullen maken, zoo als dit bij de lemniscatavan
Bernouilli plaats heeft.
Men heeft deze lemniscata lang gekend, doch ik vind er niets meer
van aangeteekend dan eene constructie en de quadratuur. Wel staat mij
voor, ergens gelezen te hebben, dat FAGNANO zich met hare beschouwing
zou onledig gehouden hebben,. doch het voornane geschrift van FAGNANO,
Produzzioni mathematiche (1750), is min nimmer onder de oogen geweest. Dat ook FAGNANO de rectificatie in genoegzame volledigheid zou
behandeld hebben, komt mij zelfs zeer twijfelachtig voor. Ook EULER, die
in de Novi Comment. petropolit., tomo VI, over de leminiscata van Bernouilli (zoo verre hare rectificatie aangaat) geschreven heeft, en meermalen
op den arbeid van FAGNANO verwijst, gewaagt van de hier bedoelde lemniscata niet.
CRAMER bedient zich van deze lemniscata in zijn werk: Introduction
à l'analyse des lignes courbes algébSiguies (page 495), bij de verilaring
van het gebruik der kromne lijnen in de methode der maxima en minima,
on wel in het voorbeeld, om de halve hoogte te vinden van don grootsten
regthoek, die in een gegeven cirkel kan beschreven worden. Want den
straal van dezen cirkel p noemende, en den inhoud des regthoeks 4p,
zoo komt men tot eene aequatie, welke den vorm (37) kan aannemen.
Wat de constructie aanbelangt, men kent deze zeer eenvoudige: Trek
in den cirkel, welks straal is p, eene middellijn ais as der lemniscata; door
dezelve eene loodregte koorde; verder een' straal, gaande door een der
uitcinden van deze koorde; daarna uit het snijpunt der koorde met de as
eene loodlijn op dozen straal getrokken, en de lengte dezer loodlijn, met
een'