Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

32 G. J. VERDA3, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN.
hebbende cp en cp2 tot polaire abscissen van uiteinden, kan naar welgevallen genomen wordcn, en de abscissen der uiteinden van den anderen
boog worden alsdan, met behulp der vorenstaande betrekkingen, gevonden.
Men kan ook zeggen: zoo op de lemniscala twee bogen genomen
worden, welker verschil is rectifiabcl en tevens bepaald door de stelkundige uitdrukking der bovenstaande waarde van, dan zal het verschil der
overeenkomstige hyperbolische bogen mede rectifiabel zijn en bepaald door
de uildrukking der waarde van '.
Deze cigenschap heeft overeenkomst met eene eigenschap der gewone
lemniscata, door CHASLES opgemcrkt, en blootelijk vermeld in een der bladen van de comptes rendus over den jare 1845, namelijk: zoo op eene
bernouilliaansche lemniscata tw/ee bogen genomen worden, welkeeven groot
zijn, of, welker verschil ==O is, zal het verschil der overeenkomstige bogen
van de overeenstemmende geljkzijdige hyperbola rectifiabel zijn; dezo eigenschap is derhalve, als het ware, een bijzonder geval van de bewezene.
In plaats van het verschil, zou men ook de som van twee bogen kunnon beschouwen; doch ik wil thans niet langer bij dit punt verwijlen.
C. Het laatste geval van voorgestelde herleiding is dat van 2 =O of
b2 =-, bij voorbeeld b2 =O0, en /- =- a2 (), dat is, in de oorspronkelijke vergelijking (1), 6=_ - ac. Deze vergelijking wordt daardoor
a4
(2) Indien p2=- oc2 of wel jp6=+ ce is, ontstaat de vergelijking
J= p (x2 + y2).
Deç kromme lijn, tot welke deze vergelijking betrekking heeft, is daarom in de algemeene
beschouwingen in den tekst niet' overwogen, wijl haar vorm niet lemniscatisch, en hare
rectificatie eindig is. Het is eene kromme lijn, hebbende twee takken met parabolische
asymptoten, verbonden door eene as, welker lengte is 2p. Hare poolvergelijking is: