Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. ERDXAE, BJJDRAGE TOT DE BESCHIOdUJING D.I LUE.SNISCATE.C 27
1~ Voor de lenogt van eeon boog der hyperbola, gcrekcnd van cenige
waardto van ll' toit i1'= 0, (dt is. tot aan den lop der hyperbola,
' = tCag. i,' A(v -, v'1 E(- -,,') - - 2F(V{~, -) ~
2~ Voor de lengte van Cen' boog der lemniscal.a bij deze!fdc amplitudo,
s'= F(î/2-, ~;,).
Minder lettende op de coëfficicnten, of op de moduli, dan Nwel op
den vorm der vergelijkingen, zoo blijkt, dat de formulen voor de ecg"
te der bogen van de gewone gelijkzijdige hyperbola en van die, weIke hier
genoemd is van de tweede orde, genoegzaau dezelfde gedaante hebben.,Alcenlijk komt in de cerste tang. ip' voor, en in do tweede de omgckcerde
waarde col. J', en in de eerste zijn de teekens van F en E legepgesleld
aan die van F en E in de twecde; maar in de twoede worddt ook de arnplitudo îp' juist in eeno tegengestelde rigting gerekend. Gelijk verder,
in de rectificatie-formule der gelijkzijdige hyperbola, een term voorkomt
F (V1-,,'), welke do rectificatie der overeenkomstige lemî niisata geeft,
zoo is or ook in do rectificalie-formule der hyperbola van do tweede orde
een term E(-V/3,p), welke de lengte eens boogs van even groote amplitudo der met deze hyperbola overeenstermmende lemniscata voorstelt.
Bij de gewone hyperbola (ongeljkzijdige) en lemniscata is
p. = r,. cos. 2 c;
trekt men nu tot het punt der hyperbola, hebbeadendedn voersiraal ar. en
de polaire abscis cp, eene raaklijn, ea laat men, uit den oorsprong, op
deze raaklijai eene loodlijn neder, zoo is het voetpunt deer loodlijn een
punt der lemniscata, en deze loodljnt p, maakt dus, aan de andere zijde
der as van de lemniscata, een' hoek p met doeelve, gelijk aan den hoek,
welken de voerstraal r,, aan gene zijde, met de as maakt. Hieruit volgt,
dat de punten der lemniscala kunnen verkregen worden, zonder het trekken van raaklijnen tot de hyperbola. Men trekke namelijk uit het centrurn
der byperbola, aan elke zijde der as, cen' voerstraal, elk een' hoek cp met
de as makende. Zoo men dan, uit het snijpunt van elken voerstraal met
D2 de