Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. VERDAM, B3IJDRA:GE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 23
p2 q q6 y4
q2 poq6 1i_3y (t_2)
welko alleenlijk voor p =q, dat is alleenlijk bi de gelijkzijdigehyperbola,
= I kan worden. Het is dan ook hierom, dat de berekening der lengte
van het lemniscatisch quadrant nict geschieden kan door middel (der complete funclio van de derdo soort, allhans niel onmiiddelijk; want wel is
waar, dat men, door in de formule (29*) te stellen
4 2
sin.2 & - sin.2 \,
1-3 y2 (1-2)
dezelve herleidt tot eene andere, in welke de grens van hel argument;is,90~, maar die andere formule is zamengesctlder, en moet op hare beurt
wederom tot elliptische integralen gebragt worden.
De parameter -- kan zoowel positief als negatief zijn. Zoo lang
72 is <- iis deze paramelcr steeds positief. Voor y2 i is hij nul; de
functie van de derde soort gaat over in eene van de eerste soort; p wordt
=; en de formule (29:) is alsdan de bekende rectificatie-formule voor
de gowone lemniscata. Wordt y2 <1, zoo is do parameter >0, maar de
grens voor do amplitudo W wordt kleiner. Voor 72 4, heeft men een
parameter 1, en q2 = p2. Voor y2 minder en minder dan -, wordt
q kleiner en kleiner dan p, maar de parameter wordt grooter en grooter
dan één. Dit aangroeijen heeft geene grenzen; do figuur der lemniscata
wordt, bij het langer en langer worden van hare as in vergelijking van hare
hoogte, meer en meer uitgerekt, en nadert de regtlijnige rigting van hare as.
Bijaldion y2 > wordt, zal de parameter negatief zijn; evenwel zal
deszelfs waarde niet tot het oneindig negatief kunnen toenemen; want voor
72 nabij =1, wordt de parameter nbij =- 1, en zijne aarden liggen
dus tusschen O en -. In dit geval der negative parameters behooren
de lemniscaten tot hyperbolen, welker eerste assen 2p kleiner zijn dan de
tWGco