Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

18 (, J. VERVEDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCIOUWlNG DER LEiMNISCATEIN,
/ (1-c2Sin.2 cp)2 4- c4sin.2 os2 cp
ô5 ====l W |/ } ------ - -- -— n 2
3 i 12(2-c2) sin. 2 ç
( l-C2 sin.2 q~) ( -c (2 —2) sin.2 ~p)
Bialdien men nu slelt tang. p, - tan,. 't, verkrijgt metn
a (l-c2 sin. 2) (1)) ( l -c)19)
{(t C2) +c2n.2+2,} /(l-c2si2 1p)
Volgens deze formule is de rectificatie afhainklelik van het verschil eener
elliptischo functie van de de-rde en van dte eerste soort. Doch men kan
cenvoudiger herleiden, door aan te nemen
tanq; _p -ot.-,
' 1-C2
want in deze vooronderstelling zal do berekening vocren tot:
=a3S= (1 —c2)2... X. (20)
{l-c2 (2-c2) sin.2I lV/(l-c2 sin.2 ))
Ilet blijkt derhalve, dat do bogen van de beschouwde voetpuntenkromme lijn (men zou ze oneigenlijk elliplieche lemniscata kunnen noemen) meelkundige voorstellingen zijn van elliptische fcentièn van do
derde soort, hebbende een' negatieven parameter, welle begrepenzal we.
zen tusschen -2 c2 en - 1. Volgens de formule (19) zou de parameter
positief zijn; maar, gelijk in de theorio der elliptisehe functiën bewezen
wordt, is de eene formule tot de andere herleidbaar met tusschenkomst
eener goniomcetrische uitdrukking, even zoo als ook de functieën met negatieve pararnelers, grooler dan — c2, herleidbaar zijn tot andere met parameters, die kleiner dan -1 zijn, doch bij tusschenkomst eener logarithmische uitdrukking.
Indien men de halve groote as p der oorspronkelijke ellips niet 1
stelt, maar onbepaald laat, zal de formule (20) worden.