Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

14 a. j. vIaBDAM, Î1JEDRAiS TOT DE 4ESÇHOUWINOG PER LEMnISCTEIN.
a2 -(a2 b2) sin.2 p 2
X j/'{a4+ 2 (a2-b2) (a2-2 1<2) si.S2 -_3 (a2_- 2)2 sin.4 (p
Deze uitdrukking wordt ligtelijk lot eene elliptische funclie herleid. Men
deele teller on noemer door cos.4 p, zoo komt
a = ___ a c. tang. q
{a2 (1+:tang.2 )-(C(a2 2) tang,.2 c}2
Stellende nu tang. qg =a tang. ~ (90~ +- )), zoo komt men tot
Vb (a4'-~ ba3 t&4) v+}il:(a 2-b2)2 ) },l,
a2b2 - a22+(a2_-^2) n (13)
zinde eene elliptische functie van de tweede soort.
Daar de kromme lijn, hebbende de uitdrukking (10) tot vergelijking,
geheel en al symmetrisch is ten opzigte der assen van x en y, zullen de
grenzen van den hoek qp, in de vergelijking (11), zijn c = 0 en =90~.
Met q =0 en cp = 90~ stemmen overeen p = --- 90~ egn î! = +- 90~. Ergo
zal men, om de lengte van a- dos omtreks van do krommo ljn te bepalen,
ïmoeten berekenen de complete function der tweede soort, behoorende tot de
formule (13), en daarna de uitkomst verdubbelen.
De kromme lijn, hebbenle de uitdrukking (10) of (11) tot vergeliking, heeft dan dit merkwaardige, dat hare bogen, even als die eener ellips, zekere meetkundige voorstellingen zijn van do elliplische integralen
der tweede soort. De vorn van de kromme lijn kqmt ook min of meet
den elliptischen vorm naiâij; eigenligk evenwol is de kromme een ingedrukt
ovaalI