Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

12 G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN.
integralen bepaald, en in eenige gevallen loopt zj door berekening van gewone elliptische functieën af. De rectificatie-formule is van een' zamengestelden vorm, en verhoudt zich aldus:
as - _ __/2 x
f(a22-b2) + (a2-b2) cos.2} 2. 2X (ca2 +- 2) + (a2 -/2) cos.2cp}
j/j[(a2+62) + (a2-b62) oS.2Cp]2. [(a~2+/2) + (a2_-2)cos. 2]2
+[2(aV292 _c2.2)+(oa2.-2)[( 2+/32)+(ac2-,32)cos.2cp]]2sin.22C (9)
De herleiding dezer integraal slaagt ondor anderen in de navolgende
gevallen:
1~ Als men heeft a =, mits B2 positief.
2~ Zoo 3 = 0 is, mits a2 positief.
30 Indien a2/2 a 2b2, of a2:b2 a2:32 is.
4" Wanneer c2 = P2 is, of a2 _ 2 =0.
5~ a2 -b2 dat is a2-b2 =O, of ook a2+-b O.
6~ a=O of b= O, en.2 -a2.
De drie eerste gevallen eischen geene breedvoerige ontwikkeling, daar
zij tot de rectificatie der kegelsneden behooren.
Als men heeft = 0, word V {(o2 + P2) +' (~2 - 32) co. 24p}
- sin. çp V 2; hierdoor wordt reeds het integreren aanmerkelijk verligt;
maar het polinomium, onder het wortelteeken in den teller der differentiaal-uitdrukking voorkomende, wordt mede eenvoudiger, en wel, na alley
herleidingen, eene zesde-magts-uitdrukking van den derden-magts-vorm, welke
onmiddelgk tot dien eener elliptische functie kan gebragt worden.
Is 3=O 0, zoo heeft met geringe wijziging hetzelfde plaats. Bestaat
er tusschen de coëfficienten eene gelijke verhouding, zoodata2 2?2 -~2 b2
is; alsdan kan de wortelvorm in den teller der vergelijking (9) gedeeld
worden door den wortelvorm, in den noemer voorkomende; deze laatste
ver