Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

68 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
zum Scheitelpunkt einen Punkt A der Geraden hat, die der Ort der
Mittelpunkte der Kreise des Büschels ist; der Ort der Punkte, in
welchen die Geraden des Büschels von den Kreisen des Büschels
berührt werden, ist eine Panstrophoide." Indem jeder von A ausgehende Strahl r von zwei durch B und C gehenden Kreisen berührt
wird, giebt es auf jeder von A ausgehenden Geraden zwei Punkte
der Panstrophoide MX und M2; sie heifsen korrespondierende
Punkte der Kurve. Sei L der Schnittpunkt der Geraden r mit BC;
es ist klar, dafs in dem Spezialfalle, wenn B und C zusammenfallen,
die Strecken LM1 und LM2 beide gleich LB werden, und dann
haben wir wieder die gewöhnliche Definition der geraden Strophoide.1)
Um die Gleichung der Panstrophoiden zu finden, nehmen wir
die Gerade BC (die immer reell ist) als y-Axe, und als x-Axe den Ort
der Mittelpunkte der Kreise des Büschels. Wenn - g die Abscisse
des Punktes A ist und k (eine reelle oder rein imaginäre Gröfse) der
absolute Wert von 1 BC ist, so lauten die Gleichungen eines Kreises
und einer Geraden der betrachteten Büschel
x2- 2cx +y2 _7 0. (1) y= (x+ g).. (2)
Da nun die Bedingung der Berührung zwischen den so dargestellten
Linien lautet
C2 +2 = (g2 + 2 2g- k),..... (3)
so ist die Gleichung der betreffenden Panstrophoide das Resultat der
Elimination von c und 2l aus den Gleichungen (1), (2), (3), und demnach
x (x + -2)+ (-2 - y2) + (x + y) = 0... (4)
Die Form dieser Gleichung zeigt, dafs die Panstrophoiden cirkulare
Kurven dritter Ordnung und symmetrisch in Bezug auf eine Axe sind;
sie beweist ferner, dafs eine solche Kurve durch die Punkte A, B
und C geht, ebenso auch durch die Punkte der Abscissenaxe, die die
Abscissen + ik haben (reell, wenn B und C imaginär sind und umgekehrt). Schreiben wir Gleichung (4) wie folgt
+y) (x~ + k2)
y -y g-x x
so sieht man, dafs die Gerade x = g eine Wendeasymptote ist. Wenn
k2 > 0, so besteht die Panstrophoide aus einem Schlangenzuge (s. die
Figur), wenn c2 = 0, ist der Anfangspunkt ein Doppelpunkt, wenn
endlich k2 < 0, besteht sie aus einem Oval und einem Schlangenzuge.
Auch zwei Grenzfälle wollen wir anführen: wenn g =, so zerfällt
die Kurve in die Gerade x = 0 und den Kreis x2 + y2 + k2 = 0;
wenn aber g = o, so besteht sie aus der unendlich fernen Geraden
und der Hyperbel xZ - y2 + k2 = 0.
1) Bretschneider nannte sie harmonische Schlinge.