Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Die Fokale von Quetelet oder schiefe Strophoide etc. 65
durch Einfachheit und Eleganz bemerkenswerte Beziehungen. Gleichung
(2) führt zu folgender neuen parametrischen Darstellung:
sin o (1 -- cos co)
x= a(1 + cosco), y = a... cos (13)
COS Co
die man dadurch vereinfachen kann, dafs man die doppelten Vorzeichen unterdrückt, indem man z. B. nur die unteren beibehält; dann
ist die allgemeine Gleichung der Tangente:
[i - (1 + cos2 co) sin co] x + cos53 G y - C (1 -- sin o)2 = 0. 1)
Die Tangenten in zwei konjugierten Punkten schneiden sich im Punkte
'-< 2, s sin'3 c
x = a (1 + sin2 c), y a c-s;
der Ort der Schnittpunkte hat die Gleichung:
y2(2a - x) = (x - )
und ist daher eine Cissoide des Diokles. Hingegen ist der Ort der
Schnittpunkte der Normalen in zwei konjugierten Punkten eine Parabel.
Aus der Gleichung der Tangente ergiebt sich, wenn man mit t, t2
die Längen der Tangenten in zwei konjugierten Punkten bis zur
Asymptote, und mit hl, h2 die Abstände der Tangenten selbst von A
bezeichnet, dafs
/1 cos2o 2 cos2 c
ti t2== a cosc o h h2- a 1 + cos Co
COS O 1 -t-COS2 co
und daher t1 t2 h h =- a4.
Führen wir die hyperbolischen Funktionen ein, indem wir setzen
tg - _Zg, oder (0 u=sec o, in t=tg o,
so verwandelt sich (2) in folgende Gleichung
Q =a (~o~ u + in )t..).... (14)
die sich in hervorragender Weise dazu eignet, durch ein gleichförmiges
und elegantes Rechnungs-Verfahren alle Eigenschaften der betrachteten
Kurve aufzustellen2).
39. Die Quadratur der geraden Strophoide kann leicht mit Hilfe
der Gl. (4) ausgeführt werden; man findet so, dafs die Fläche der Schleife
gleich a2 - 4 ca2 ist, während die Fläche zwischen den unendlichen
Qr2
Zweigen und der Asymptote gleich a + 4 — ist. Nicht schwieriger
ist die Bestimmung des Schwerpunktes des durch Rotation der Schleife
1) Betreffs Konstruktion der Tangente nach der Methode von Roberval
s. A. Saint-Germain, Becuzeil d'exercises sur la mecanique rationelle (2. Aufl.
Paris 1889) S. 166.
2) S. Kap. III des Werkchens von S. Günther, Parabolische Logarithmen
und parabolische Trigonometrie (Leipzig 1882).
Loria, Ebene Kurven. 6