Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

62 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
Rummer, der an ihr viele Eigenschaften entdeckte, die mit dem Begriffe der harmonischen Gruppe zusammenhängen und sie deswegen
als harmonische Kurve bezeichnete1).
37. Die Gleichung der schiefen oder geraden Strophoide wird
leicht abgeleitet, wenn man sich der zuletzt in Nr. 35 dargelegten
Definition bedient. Bezeichnet man den Winkel pq mit c~, nimmt A
als Pol, q als Polar-Axe, so ergiebt sich aus dem Dreiecke APD,
wenn AD = a gesetzt wird
a AP DP
sin (co- +) Sin a sin o
daher A a sinc DP a sin o
A P. sin 1o) + ~)' P
sin (o + a) ~ sin (co + ~);
und da nach der Konstruktion die Radien vectoren der Punkte MX
und MX gleich AP + DP sind, so folgt, dafs
sin cc + sin co
Q =a sin(o - )........ (1)
die Polargleichung der schiefen Strophoide ist2). Wenn a - 2, so
wird diese zu
Q =a -sco-io oder auch Q ==a tg4 -)... (2)
welche Gleichungen die gerade Strophoide darstellen. Gehen wir zu
kartesischen Koordinaten über, so verwandelt sich (1) in eine Gleichung vierten Grades in x und y, aus welcher sich jedoch der Faktor
x ~ sin c - y ~ cos a abscheidet. Nach Wegschaffung desselben bleibt
(x2 + y2) (x sin a + y cos cc - 2 a sinc a) + a2 (x sin a -y cos ) = (3)
als Gleichung der schiefen Strophoide, und demnach
(x y) (x- 2a) + a2x 0, oder y + (x- a) - / x (4)
als Gleichung der geraden Strophoide, deren Asymptote die Gerade
x = 2 a ist. In beiden Fällen ist die Strophoide eine cirkulare Kurve
dritter Ordnung, die durch den Punkt A geht, und wenn gerade,
symmetrisch in Bezug auf die Gerade q. Verlegen wir den Anfang
nach dem Punkte D, setzen also x - a = x' und zur Abkürzung
cotg c = y, so werden (3) und (4) in die folgenden übergehen:
(x' + yy) (x' + 2) + a (2-2 x'y-y =.. (5)
x' (x' + y 2) + (x' -y) = 0. (6)
Diese Gleichungen zeigen, dafs die Strophoide, die gerade sowie die
1) Neue Sätze iber eine krumme Linie mit vorzugsweise geometrischer Ableitung (Heidelberg 1868).