Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebentes Kapitel: Das Folium Cartesii. 55
c'est a dire tous ceux de la cou rbe, puisque le point N se prend a
discretion. Je pourrais lui donner une infinite d'autres lignes, qui ne
seroient pas d'une nature plus composee que celle-la et toutefois qui
representoiraient des fleurs et des galanths beaucoup plus doubles et
plus beaux; etc."l) Bringen wir diese Definition in Formeln, so ersieht man, dafs die neue Kurve die Gleichung hat.
1+ 3x (2)
Nun beachten wir, dafs, wenn wir als Koordinataxen die Winkelhalbierer
zwischen den alten Axen nehmen, die Transformierungsgleichungen
y~2; 1/2 '
sind. Infolgedessen geht (2) über in
Da diese von derselben Gestalt ist, wie Gleichung (1), so ist die Kurve
Descartes' nicht verschieden von dem Folium. Dafs dies dem Verfasser des Discours de la methode bekannt gewesen, wird durch einen
späteren Brief von Descartes2) an Mersenne bewiesen, worin sich
folgender Satz findet:,J'oubliois ä vous dire que la nouvelle ligne
que je proposa au sieur R.(oberval) ä la fin de la quatrieme page de
cette lettre est tout la meme que l'autre, ce que je fais pour me rire
de lui s'il ne reconnoit pas ä cause qu'il dit la connaitre comme le
cercle." Wenn demnach Descartes die Identität der durch die
Gleichungen (1) und (2) dargestellten Kurven erkannt hat, so ist diese
Thatsache von grofser Bedeutung, indem sie beweist, dafs er im stande
war, wenigstens in besonderen Fällen, eine Transformation der Koordinaten auszuführen.
Die Transformation der Gleichung (1) in (2) ist nicht blofs von
historischem Interesse, sondern kann auch benutzt werden, um die
Kurve zu konstruieren. Es seien (s. Taf. I, Fig. 6) M1 und M, zwei
Punkte der Kurve (2) symmetrisch zur x-Axe gelegen; dann ist MM,
parallel zu 0 Y und schneidet O X in einem Punkte N. Beschreiben
wir nun einen Kreis, der durch 0 geht und dessen Centrum auf OX
liegt, und projizieren von 0 aus auf diesen die Punkte M und M,
in M' und M,', so wird auch M'M,', senkrecht zu OX sein und ein
paralleles Strahlenbüschel projektiv zu dem ähnlich entstandenen der
Geraden MM, beschreiben. Umgekehrt: Es sei eine Projektivität
zwischen den Punkten N und N' auf OX gegeben; man ziehe durch
NV' die Parallele zu 0 Y und bestimme deren Schnitte mit dem Kreise
1) Oeuvres de Descartes ed. Cousin, VII, S. 92.
2) Ich sage ~späteren", da er später gedruckt wurde (Vol. cit. S. 178-80)
und die Worte enthält ~Nons sommes au 23 d'aoüt 1638", während Cousin als
Datum desselben ~den 31. März 1638" angiebt.