Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

50 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
Sechstes Kapitel.
Die Cartesisehe Parabel.
31. Um ein allgemeines Beispiel einer Kurve anzuführen, auf
welche die von ihm entdeckten Methoden angewandt werden können,
betrachtete Descartes die auf folgende- Weise erzeugten Linienl):
~In einer Ebene sei eine Kurve r und ein mit ihr unveränderlich
verbundener Punkt A gegeben, ferner ein fester Punkt F; man denke
sich die Kurve translatorisch bewegt und bestimme für jede Lage
den Schnittpunkt mit der jeweilig zugehörigen Geraden FA; der Ort
der so erhaltenen Punkte ist eine Cartesische Kurve." Die Konstruktion
ist eine spezielle Art der Transformation ebener Figuren. Um sie
in Formeln zu kleiden, nehmen wir die vom Punkte A während der
gedachten Bewegung beschriebene Gerade zur x-Axe, und das vom
Punkte F auf sie gefällte Lot zur y-Axe. Wenn nun y = f(x) die
Gleichung der Kurve in ihrer Anfangslage ist, y0 die Ordinate von
F und 1 die Abscisse von A in der Anfangslage, so werden
y f(x + a), + Y 1
die Gleichungen von r und der Geraden FA in einer beliebigen
Lage der Bewegung sein. Durch Elimination von a erhält man
y = f Ix- + Xyo _
'. 20Yo -- Y!
als Gleichung der Cartesischen Kurve.
Ist r eine Gerade, so kann man erkennen, dafs die erhaltene
Kurve erzeugt wird durch die Schnitte entsprechender Elemente eines
Strahlenbüschels und eines projektiven Büschels paralleler Strahlen,
sie ist eine Hyperbel. Ist r ein Kreis, so ist die erzeugte Kurve
eine Konchoide des Nikomedes (Abschn. III, Kap. 5). Wenn schliefslich r eine Parabel ist, so entsteht eine Kurve, die von Descartes
besonders bezeichnet wurde2) und daher Parabola cartesiana genannt wird3). Andere nannten sie Trident des Cartesius4), andere,
um hervorzuheben, dafs die Kurve aus zwei getrennten Zügen bestehe,
1) La geomletrie de Rene Descartes, Nouv. edition. Paris 1886. S. 18.
2) Ebendas. S. 19.
3) Dieser Name findet sich schon in der Enumeratio linearum tertii ordinis
von Newton.
4) Bellavitis Sulla classificazione delle curve del terz' ordine (Mem. della
Soc. Ital. delle Scienze XXV, Teil II, S. 24. 1851); Bellacchi, Lezioni ed eserzizi di algebra complementare Bd. I (Florenz 1898), S. 43, wo noch allgemeinere
Kurven betrachtet sind.