Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

718 Nachwort.
wichtig ist aber die Bemerkung, dafs zufolge seines Verfahrens die Geometrie wenigstens um eine Methode bereichert wurde, die der weitgehendsten Anwendung und vielfacher Verallgemeinerung fähig ist, um neue
Kurven zu erzeugen und zu erforschen; sie besteht darin, eine bekannte
Oberfläche durch Ebenen zu schneiden, oder eine Kurve mit ihrer Centralprojektion in Beziehung zu setzen, oder schliefslich eine metrische Beziehung aufzustellen, der alle Punkte einer Kurve gehorchen. - Eine
Anwendung des ersten Verfahrens findet sich bei Perseus, um eine interessante Gruppe von Kurven zu erhalten, nämlich die spirischen Linien
(s. Nr. 62ff.); das zweite Verfahren lieferte dem Newton seine Klassifikation der ebenen Kurven dritter Ordnung (Nr. 15), und kann als Urquell der gesamten heutigen projektiven Geometrie betrachtet werden; in
dem dritten schliefslich erkennt man die ersten Anfänge der analytischen
Geometrie. Dennoch enthüllten jene Methoden - wie sehr sie auch in
verschiedener Weise angewendet, in mehrfacher Weise modifiziert und gewissermafsen umgeändert wurden, durch Apollonius von Pergae in seinem
berühmten Werke über die Kegelschnitte - ihre ganze Fruchtbarkeit erst
viele Jahrhunderte später. Im allgemeinen waren es jedoch nicht jene
Methoden, die von den alten Geometern angewendet wurden, um die Zahl
der speziellen ebenen Kurven zu vermehren, vielmehr gaben sie den kinematischen Methoden den Vorzug. Und das darf uns nicht Wunder
nehmen; ist es doch viel natürlicher, eine Linie dadurch zu definieren, dafs
man die Gesetze der Bewegung des sie erzeugenden Punktes angiebt! So
war es' die Vereinigung der drehenden Bewegung einer Geraden mit der
fortschreitenden eines Punktes (oder einer zweiten Geraden), welche die von
dem Sophisten Hippias von Elea, einem Zeitgenossen des Sokrates, erdachte Quadratrix entstehen liefs (Nr. 175). Die Quadratrix des Hippias
und des Dinostratus bilden die ersten Glieder in der Reihe der Kurven,
die zum Zwecke der Quadratur des Kreises ersonnen wurden; unter ihnen
finden sich sowohl algebraische Kurven, wie die virtuellen Parabeln (Nr. 82),
als auch transscendente Kurven, wie die Tschirnhausen'sche Quadratrix (Nr. 178) und die Kochleoide (Nr. 181).
Der Bewegung entstammen auch die von Archimedes erfundene
Spirale (Nr. 182) und die Konchoide des Nikomedes (Nr. 66), dasselbe gilt von der Cykloide (Nr. 195), die vielleicht auch schon den
Alten bekannt gewesen; ebenso von den Kurven, die durch Erweiterung
des Begriffes der Konchoide erhalten werden (Nr. 69-71) und von den
cyklischen Kurven (Nr. 203), für die kartesische Parabel (Nr. 31)
und die Watt'sche Kurve (Nr. 106).
Wenn nun auch die Konchoide des Nikomedes vermittelst der Bewegung definiert wurde, so war sie doch zu dem Zwecke erdacht, das
berühmte Problem der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung zu
lösen, welche Probleme bekanntermafsen die Dämonen waren, welche den
alten Geometern schlaflose Nächte bereiteten. Zu demselben Zwecke wurde
die Cissoide des Diokles (Nr. 22) erfunden, und es ist bemerkenswert,
dafs durch die Erfindung der Cissoide - ebenso durch die der Konchoide
die Geometrie um ein treffliches Verfahren bereichert war, aus einer beliebigen Kurve eine andere abzuleiten, die man die cissoidale Kurve