Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

10. Kapitel: Differenzial- u. Integralkurven; ähnliche Ableitungsgesetze. 705
dieselben Bezeichnungen und Axen beibehalten, so finden zwischen
den Koordinaten der Punkte M und M2 die Beziehungen statt
y y2
Y _ Y2 y2= (x2 - a) dY
X x2 dx
oder axdy ay.dy
2 x.-y-y dx 2 xdy -y.dxl
wenn also f(x, y2) =0 die Gleichung von I2 ist, so wird r eine
Integralkurve der folgenden homogenen Differenzialgleichung sein:
f( ax.dy ay. dy o. (6)
r\x dy-y.dx' x'dy-y.dx) 0 (6)
Nehmen wir als 2' wieder die Gerade Y2 = mx2 + n; dann hat
r der Gleichung zu genügen
ay. dy =- max. dy + n(x dy - y dx).
Setzen wir wieder y = tx,
dx i m a - n- - at
so erhalten wir -+ n-a dt =
x at(mr-t)
dx ma+n dt dt dt
oder dx+ 4 a - -.+ -=
x e maL t t - z t --- 0;m
wir integrieren und erhalten
log x q- ma — t - \
logx + -I+ a log tt + log (t -- m) = log k,
oder auch ma+n
(t m a
x. —} (t - m) = k2
und schliefslich yma+n = c(y - mx)',
wo c und k beliebige Konstanten sind; die gesuchte Kurve ist demnach eine Parabel oder Hyperbel, die algebraisch oder interscendent
ist, je nachdem die beiden Gröfsen ma + n und n beide rational
sind oder nicht.
Die Integration der Gleichung (6) läfst sich auch in dem Falle
ausführen, dafs F2 ein Kreis mit dem Centrum 0 ist. Alsdann kann
r betrachtet werden als der Ort eines Punktes, der mit konstanter
Geschwindigkeit auf einen festen Punkt zustrebt, während er zugleich
von einem anderen nach Richtung und Kraft konstanten Zuge beeinflufst wird. Sie ist demnach die Kurve, die von einem Schwimmer
beschrieben wird, der auf einen Punkt des Flufsufers zustrebt; man
könnte sie daher die Schwimmerkurve nennen. Vor d'Oeagne
wurde sie schon von Collignon') betrachtet.
1) Assoc. fran9aise pour lavane. des sciences, Compte rendu 1887.
Loria, Ebene Kurven. 45