Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

10. Kapitel: Differenzial- u. Integralkurven; ähnliche Ableitungsgesetze. 703
die von 1M mit x1, y bezeichnen, 0 als Anfangspunkt und OP als
x-Axe nehmen. Setzen wir OP a, so bestehen dann die Gleichungen
y __ y dy a-x.x (28)
x x1 dx yi
Ist also die Gleichung von r als f(x, y) = 0 gegeben, so kann die
von r1 durch einfache Differenziationen und Eliminationen erhalten
werden. Ist hingegen die Gleichung von Fl als F(x, y1) == 0 gegeben, so erkennt man, indem aus (28) sich ergiebt
ax dx ay.dx
-x.cdx-S+ydy' x.dx - ydy'
dafs r die Integralkurve folgender homogenen Differenzialgleichung ist
[ ax dx ay.dx \
\x.dx- yzdy' x.dx y- dy) =
somit kann die Aufsuchung von r immer auf Quadraturen zurückgeführt werden.
Als Beispiel nehmen wir für rT die Gerade y- =- nx1 + ni;
r wird dann eine Integralkurve von folgender Gleichung sein
ay.dx == mnax dx + n(x dx +- y dy).
Setzen wir nun y == tx, so wird diese Gleichung zu
dx t.dr
d+ t-dt _=0,... * * (2)
t2 - t+ +l
n n
wo die Variabelen schon getrennt sind. Wird die Integration ausgeführt, so erhält man je nach der Beschaffenheit der Wurzeln der
Gleichung
t2 ' \ n a /
verschiedene Resultate.
1. Fall. Es sei t2 - nt + ($ + ) = (t p) (t- q) und
p>q. Dann ist
t p q
t2 a t+ a tt (p-q)(t - p) (p- q)(t - q) '
t — t- t
n n
daher bekommt man durch Integration von (2)
log x + log(t-p) - log (t -q) logc,
1'~3~ p — q p-q
oder
(t-)- q)
und, wenn für t wieder sein Wert gesetzt wird,
(y — px) = c (y qx)... (3)