Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

702 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
angewendet, so erhält man die Gleichung
y 2ax' -x2-~k(a -x') (27)
Yi ~ V^x lx -
für die Tangentialkurve der betrachteten Ellipse. Sie ist also eine
in Bezug auf die grofse Axe symmetrische Kurve vierter Ordnung,
die ganz innerhalb des von x'= 0 und x' = 2a begrenzten Streifens
liegt. Auf der Abseissenaxe hat sie einen Doppelpunkt und einen
isolierten, dessen Abscissen bezw. (2 a + + 4 a2- + k2) sind; ein
dritter Doppelpunkt ist der unendlich ferne von Oy, mit den Geraden
x' =O, x'= 2a als entsprechenden Tangenten (Taf. XVII, Fig. 148).
Ahnlich läfst sich zeigen, dafs die Tangentialkurve der Hyperbel
(x- k- a)2 y 2
( a$ 2 a)' b- 1 dargestellt wird durch
_ b 2ax' -x'2-k(a-x')
a x'2 -2 ax'
Sie ist eine mit denselben projektiven Eigenschaften wie (27) ausgestattete Kurve vierter Ordnung, hat aber eine ganz andere Gestalt,
die uns Fig. 149 wiedergiebt.
VI. Schliefslich sei noch eine von M. d'Ocagne1) vorgeschlagene
Ableitung besprochen. ~Gegeben seien zwei feste Punkte 0 und P
sowie eine Kuve F; M sei ein beliebiger Punkt derselben, M1 dagegen derjenige Punkt, in welchem der Radius vector OM von der
durch P zu der Normalen in 1X parallel gezogenen Geraden geschnitten wird. Variiert man M auf r, so beschreibt M1 eine Kurve
1r, welche die von d'Ocagne betrachtete ist." Fällt M3 in den Fufspunkt einer von P gezogenen Normalen, so fällt MX mit M1 zusammen; folglich enthält die Kurve P, die Fufspunkte der von 1P
auf r gefällten Normalen. Wenn hingegen M in den Fufspunkt
einer von 0 auf r gefällten Normalen fällt, so befindet sich M1
im Unendlichen; also geht rF durch die unendlich fernen Punkte
der von 0 zn r gezogenen Normalen. Nehmen wir an, dafs die
Kurve r, vollständig gezeichnet vorliegt, so ist klar, dafs man in
jedem beliebigen Punkte von r die Normale zeichnen kann und
d'Ocagne hat gezeigt, dafs man damit auch das Krümmungscentrum
finden kann. Ohne uns hiermit aufzuhalten, gehen wir zu der Bemerkung über, dafs das angegebene Verfahren zwei Methoden liefert,
die eine invers zur anderen, um aus einer Kurve eine andere abzuleiten.
Um dies klar zu legen, wollen wir die Koordinaten von MI mit x, y,
1) Sur certaines courbes qu'on peut ajoindre aux courbes planes poure l'etude
de letus proprietes infinitesimales (Amer. Journ. XI, 1889). In dem Extrait d'une
lettre de M. d'Ocagne a M. Craig (Amer. Journ. XIV, 1892) ist ein zweifelhafter
Punkt jener Abhandlung richtig gestellt worden.