Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

10. Kapitel: Differenzial- u. Integralkurven; ähnliche Ableitungsgesetze. 695
Fig. 142), den wir als auf der x-Axe gelegen mit der Abscisse -k
annehmen wollen, und eine beliebige Gerade g, die wir der Einfachheit halber als mit der y-Axe zusammenfallend annehmen. In einem
beliebigen Punkte P von F ziehen wir die Tangente und durch K
zu ihr die Parallele, bis sie die Gerade g in Q schneidet; die in Q
zu g errichtete Senkrechte schneide die Ordinate von P in P'.
Variiert man nun P auf r, so beschreibt der Punkt P' eine neue
Kurve r', die von A. Hochheim die Differenzialkurve von F
genannt wirdl). Um deren Gleichung zu finden, beachte man, dafs
die Gleichung der Tangente im Punkte P(x,y) lautet
Y f () (X- x),
die zu ihr durch I gezogene Parallele aber hat die Gleichung
Y= f' (x)(X + k);
wenn man nun X =0 macht, so erhält man 1 f'(x) als Wert für
die gemeinsame Ordinate der Punkte Q und P'. Daraus folgt, dafs
=-f (x)........ (11)
die Gleichung von F' ist; diese Kurve ist also affin zu der Differenzialkurve von F in Kästner'schem Sinne (Nr. 276). Wiederholen
wir für F' dieselbe Operation wie bei r und fahren so fort, so erhalten wir nach r Operationen die Kurve
Y= 7rf) (x),... (12)
die nach Hochheim die rte Differenzialkurve von r heifst.
Falls r durch eine Gleichung, die nicht nach y auflösbar, gegeben ist, etwa durch F(x y)O 0
so würde man die Differenzialkurve erhalten, indem man y aus dieser
Gleichung und der folgenden
aF + k -F 0
eliminiert; ist also F eine algebraische Funktion nten Grades in x, y,
so ist die abgeleitete Kurve im allgemeinen von der Ordnung 2n(n -1);
sie ist ferner von immer demselben Geschlechte wie r.
Welches auch die Natur der Funktion f sein möge, immer hat man
x=1j
fy, dx =.fk f (x) dx = k() - f()],
ac== x==a
und daher ist die abgeleitete Kurve immer quadrierbar.
Als Beispiel nehmen wir zunächst die Parabel y2= 2px; dann
ist die Gleichung von r'
yl = k |f oder 2xyl2 = k2p.
1) Ueber die Differentialkurve der Kegelschnitte (Halle 1874).