Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

674 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
durch Elimination von x, y erhalten können. Um nun die Ordnung
n1 der Fufspunktkurve zu finden, kombinieren wir diese Gleichungen
mit der folgenden AX +BY+C= O.......(5)
und erhalten A + + C)[(a + ( f
( f+ B a-)(a +-: f + af)=O (6)
ay~\ axfß.. x az
Die gesuchte Ordnung ist nun gleich der Zahl der variabelen Schnitte
der beiden durch die Gleichungen (1) und (6) dargestellten Kurven
mit der Geraden (5); erstere ist von der Ordnung n, letztere von der
Ordnung 2 (n - 1), daher ist im allgemeinen n- == 2n(n - 1). Um
zu sehen, welche Veränderung die Existenz eines Doppelpunktes oder
einer Spitze (in endlicher Entfernung) hervorruft, wollen wir annehmen, dafs der Anfangspunkt ein Doppelpunkt oder eine Spitze sei.
Im ersten Falle können wir schreiben: f= f2 + ** * 0, und
sehen dann, dafs die Glieder niedrigsten Grades auf der rechten Seite
der Gleichung (6) lauten
(Aa + Be + C)[(L),+ ())j,,. Q
demnach ist auch der Anfangspunkt von (6) ein Doppelpunkt, und
damit haben wir für nr eine Verminderung um vier Einheiten.
Im zweiten Falle schreiben wir: f= 2 +...= 0, und die
rechte Seite von Gl. (6) beginnt dann mit (AOa + Bß + C) 4ys2 + — *;
die beiden Kurven haben dann eine Spitze und die Spitzentangente
gemeinsam; die Spitze absorbiert demnach sechs Schnitte der beiden
Kurven. Hat nun die gegebene Kurve d Doppelpunkte und k Spitzen,
so wird n1=2n(n- 1) - 4d- 6k.
Nun gilt bekanntlich für die Klasse v einer Kurve die Formel
= — n(n -1) - 2d - 3k,
demnach ist n -= 2v,
und das heifst in Worten: Die Ordnung der Fufspunktkurve einer
algebraischen Kurve ist im allgemeinen doppelt so grofs als die
Klasse dieser1).
Nehmen wir z. B.2) als Kurve F die Ellipse
a y.
a2+ b= 1,
1) Weiteres über diese und ähnliche Fragen s. m. bei A. Rosen, Om fotpunktkcurvers karakterer, Akademisk afhandling (Lund 1884).
2) S. Roberts, On the pedals of conic sections (Proc. of the London math
Soc. III, 1869-71).