Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebentes Kapitel: Die Brennlinien. 669
Incidenzpunkte liegt, und dessen Radius das Produkt aus dem Brechungskoeffizienten -, und dem Abstande jenes Punktes vom leuchtenden
Punkte ist. Die zweite Gleichung entsteht dann durch Differenzieren
der ersten nach x. N(', l) ist demnach der Berührungspunkt des
Kreises K mit der Kurve, die von allen diesen analog konstruierten
Kreisen umhüllt wird. Der austretende Strahl enthält sowohl diesen
Punkt N als auch den Mittelpunkt (x, y) von K, er ist daher normal
zu diesem Kreise, also auch zu der umhüllten Kurve; letztere ist also
normal zu allen austretenden Strahlen, mit anderen Worten: sie ist
eine Evolvente der Kaustika. Aus allem diesen ergiebt sich nun
folgender Satz von Gergonne: Die Kaustika B einer beliebigen
(spiegelnden oder brechenden) Kurve 1" für solche Strahlen, die eine
Kurve A berühren' (oder zu einer Kurve A', der Evolvente von A,
normal sind) ist die Evolute einer Kurve B', welche die Enveloppe
der unendlich vielen Kreise K ist, deren Mittelpunkte auf der Kurve
r liegen, und deren Radien zu den Abständen der Mittelpunkte von
den entsprechenden Punkten der Kurve A' in einem konstanten
Verhältnisse stehen, nämlich des Sinus des Einfallswinkels zu dem
des Brechungswinkels ). Zufolge dieses Satzes zerfällt die Untersuchung der Brennlinien in zwei Teile, nämlich die Untersuchung der
Enveloppe des nach einem bestimmten Gesetze variabelen Kreises und
die der Evolute einer gegebenen Kurve, und diese beiden können sowohl geometrisch, als auch analytisch ausgeführt werden. Die Kurven
B', die Evolventen der Brennlinien B, tragen den ihnen von Quetelet2)
gegebenen Namen sekundäre Kaustiken (Nebenbrennlinien).
Wenden wir den soeben bewiesenen Satz von Gergonne an für
den Fall der Refraktion, wenn die Brechungskurve eine Gerade ist
und die Strahlen von einem Punkte ausgehen, so finden wir, dafs die
sekundäre Kaustika eine Ellipse ist; ist dagegen die brechende Kurve
ein Kreis, so ist sie ein Cartesisches Oval3). Die Diakaustika einer
Geraden ist also die Evolute einer Ellipse4); die eines Kreises ist
im allgemeinen die Evolute eines Cartesischen Ovales5); liegt aber
der leuchtende Punkt auf der Peripherie des Kreises, so ist die Dia1) Gergonne, Sur les caustiques planes (Annales de Math. XV, 1824-25).
2) Denmonstration et developpements des principes fondamzentaux de la theorie
des caustiques secondaires (Belgique Mem. V, 1829).
3) Salmon-Fiedler, Höhere ebene Curven, II. Aufl. (Leipzig 1882) S. 127.
4) Dieser spezielle Satz wurde von Gergonne schon 1820 bewiesen (De
la maniere dont les poissons nous voyent et dont nous les voyons, Annales de
Math. XI, 1820-21), ein direkter analytischer Beweis steht in Schlömilch,
Compendium d. höh. Analysis (5. Aufl., Braunschweig 1881) I, S. 132.
5) Auch dieser Satz ist älteren Datums als der von Gergonne, indem er
sich schon in den Recherches d'analyse sur les caustiques planes von C. Sturm
findet (Ann. de Math. XV, 1824-25).