Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

668 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Ein neuer mächtiger Antrieb zum Studium der Kaustika ging
1808 von Malus aus durch seine berühmte Me'moire sur l'Optique
(Journ. de l'Ecole polyt. VII). Es ist hier nicht der Ort, auf die
bewunderungswürdigen Resultate derselben einzugehen, zumal sie
gröfstenteils die Verteilung der Lichtstrahlen im Raume betreffen und
somit mehr Beziehung zur Geometrie der Oberflächen und der Linienkongruenzen als zur Geometrie der Ebene haben', auf die wir uns
hier beschränken müssen. Nur eine Ausnahme soll gemacht werden,
und zwar wegen eines Satzes, dem man die Einführung eines neuen
Begriffes verdankt, der so fundamental ist, dafs er eine radikale
Änderung in der Theorie der Kaustiken hervorgerufen hat.
Wir betrachten zu dem Zwecke die Kurve A', zu der alle einfallenden Strahlen normal sind; ~', ' seien die Koordinaten eines beliebigen Punktes derselben, x, y die des entsprechenden der Kurve r,
welche die brechenden Medien trennt. Wenn wir dann mit t, X die
laufenden Koordinaten bezeichnen und d- = setzen, so werden die
dx
Gleichungen des einfallenden Strahles, der Normale zur Kurve F und
des austretenden Strahles bezw. von folgender Gestalt sein
r^ y — y h; d-x), -y=- (-x), X - y= IC(t - );
da nun der einfallende Strahl durch den Punkt (t', r') der Kurve A'
geht, so ist -y= ''
während die Gleichung
n (1 + kp) _ (1 + 7k' p)
}y-I ~ -1/1 -das Grundgesetz ausdrückt, welches die Erscheinung der Refraktion
beherrscht. Mit Berücksichtigung der vorigen Gleichung kann nun
diese geschrieben werden, - -x p( i-y) _ a -- +P( -y)
V(~.- x)2 + (v - y)2 V( - y)2;
sie stellt den austretenden Strahl dar und wird offenbar befriedigt
durch die Koordinaten ~, V eines Punktes N, von der Art, dafs
V -+C x)? + (- Y5 - y- x -+p(-y)] _ 1
n ('- x) +- (- y)+ y ' n2 - x -+ p( - y)]'
Schreiben wir diese Beziehungen folgendermafsen:
(-x)2 + - y _ = x)((t X)2 + H- yI));
a- x+ (- y) ((- x + p ('- y)),
so sehen wir, indem ~, X die laufenden Koordinaten sind, dafs die
erste dieser Gleichungen einen Kreis K darstellt, dessen Centrum im