Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

666 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
b) Eine neue bemerkenswerte Kurve erhält man, wenn man von
der Parabel -2 2pt
ausgeht. Dann liefern uns die Gleichungen (4)
x= 3, y_ (3p- 2);
2p;
eliminiert man n, V, so gelangt man zu
54py2 = x(2x- 9p)2,
als Gleichung der gesuchten Katakaustika. Diese läfst sich jedoch
noch auf eine andere Weise darstellen, die ihre interne Natur klarlegt. Aus der letzten Gleichung erhalten wir nämlich für das Bogendifferenzial und den Krümmungsradius
ds 2x+s (2+ 3p)2
dx 2-/6px ' 12p
durch Elimination von x erhält man dann
dR
als natürliche Gleichung der Brennlinie der Parabel. Nun stellt diese
Gleichung den Entwickelungen in Nr. 172 zufolge (s. S. 400) eine
Sinusspirale mit dem Index -~ dar; infolgedessen kann die fragliche
Kurve in Polarkoordinaten durch
1 1
Q 3- a 3 cos (-3 o) oder a = cos3 3
dargestellt werden. Diese Kurve erhielt den Namen Orthogenidel),
der von Allegret ersonnen war, zunächst um eine beliebige Sinusspirale zu bezeichnen.
c) Nehmen wir als spiegelnde Kurve die Cykloide
t = a arc cos a - 1/2a 2,
so findet man als Gleichung der Brennlinie:
N =- a, x - )/ -/Va,+ x-222
und nach Elimination von t, X
a a-2y 2,
x = arc cos - - ay- y
Die Brennlinie einer Cykloide ist also eine andere Cykloide, bei
welcher der Durchmesser des rollenden Kreises gleich dem Radius
1) S. Question 1266 der Nouv. Ann., gelöst von Fauquenberg (2. Ser. XIV,
1894, S. 5*); dieselbe Kurve war schon vorher von Barbier und Lucas untersucht worden (Nouv. Ann. 2. Ser., V. S. 27 ff.).