Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

652 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Sechstes Kapitel.
Die Radialen1).
264. Nach dem Vorschlage von R. Tucker2) bezeichnet man mit
dem Namen Radiale einer ebenen Kurve r den Ort ~F der Endpunkte der von einem festen Punkte 0 ausgehenden und mit den
Krümmungsradien der Kurve ~ äquipollenten (d. h. gleichen und
gleichgerichteten) Strecken. Aus dieser Definition ergiebt sich 1) dafs
die Radiale für eine Kurve eine ähnliche Bedeutung hat wie der
Hodograph für eine Bewegung3); so wie dieser eine graphische Darstellung der Änderungen der Geschwindigkeit liefert, so giebt diese
ein Bild davon, wie sich die Krümmung der Kurve ändert; 2) dafs,
wenn man den festen Punkt 0 verlegt, die Radiale ihre Gröfse und
Lage beibehält, also nur eine Verschiebung in der Ebene erleidet.
Es sei nun f y).(
die auf ein gewöhnliches kartesisches System bezogene Gleichung der
beliebigen Kurve 1. Wir nehmen an, dafs die Funktion f partielle
Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitze, und bezeichnen
diese bezw. mit /, f2, f, f2 = f21 und f22. Aus bekannten Formeln
(s. Nr. 251) ergiebt sich dann, dafs die Projektionen der Strecke
zwischen dem Punkte P(x, y) von /P und dem entsprechenden Krümmungscentrum C(xl, y,), also die Gröfsen x -x und Y- y die Produkte sind aus fl bezw. f2 und dem Quotienten
fiI f12 fA
(f12-f22): f21 f22 f2 (2)
/' f2 0
Sind nun c/, die Koordinaten des festen Punktes 0, und x0, yo die
des Punktes P, auf Io, welcher dem Punkte P(x, y) auf F entspricht,
so ist offenbar
Xo- a = X - X, y - = -
und daher zufolge der vorigen Gleichung:
xo -- a + (f 12+ f22):z, 2 yo /= P + (f 12+ f2):, (3)
wenn wir die in (2) vorkommende Determinante der Einfachheit halber
1) G. Loria, Intorno alle radiali delle curve piane (Rendic. del Circ. matem.
di Palermo, XVI, 1902); La radiale di una curva algebrica (Perodico di matem.
XVII, 1901).
2) On radial curves (Proc. of the Lond. Math. Soc. I, 1865).
3) Hamilton, Elements of Quaternions (London 1866) S. 100.