Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünftes Kapitel: Die Parallelkurven. 651
31 1
2 sin 2 a 2 tg 2c
hieraus ergiebt sich
cos 2a C 2 --— 3a
k 3
und diese Gleichungen liefern für cc und 1 nur dann reelle Werte,
wenn 1c>3al.... (18)
Wir können daher schliefsen: Die Gleichungen (17) stellen nur dann
eine Astroide dar, wenn die Konstanten a und k der Bedingung (18)
genügen. Wenn dies nicht zutrifft, so stellen die Gleichungen (17)
eine Kurve dar, die nicht mehr in reeller Weise ebenso wie die
Astroide in Nr. 103 erzeugt werden kann; sie soll als Parastroide
bezeichnet werdenl), und kann auf reelle Weise durch ein Verfahren
konstruiert werden, das wir jetzt darlegen wollen. - Betrachten wir
die reguläre durch folgende Gleichungen dargestellte A.stroide (s. die
G1. (16), in welchen 2cc = zu setzen ist)
31. 31
-= 2 sin, s =- cos co,
und benutzen die Formel (2), so erhalten wir für die Parallelkurve
derselben 3 1 31 a
- 2 sinco- a, s -cos - (19)
Folglich: Die Parallelkurve einer regulären Astroide ist im allgemeinen eine Parastroide. Aus der Gleichung (18) ersieht man,
dafs sie nur dann eine Astroide ist, wenn
Ial <
Somit ergiebt sich die Notwendigkeit, die Tragweite eines von
Salmon dargelegten Satzes2) einzuschränken, wie aus der aufmerksamen Prüfung der angewandten Begründung hervorgeht. Überdies
verlangen die auf S. 645 aufgestellten Formeln, dafs die fragliche
Kurve von der 12ten Ordnung sei; nun zeigt uns die geometrische
Überlegung oder eine Zeichnung leicht, dafs die Parallelkurve der regulären Astroide aus zwei kongruenten Kurven besteht; jede von diesen
gehört teils dem äufseren, teils dem inneren Zweige an, wie es
Taf. XVI, Fig. 136 zeigt.
1) G. Loria, Les courbes paralleles aux astero'ides sont elles toujours des
astetroides? (Mathesis, 2e Ser. X, 1900); vgl. die darauf folgende Note sur l'astroide
et ses courbes parcallZles von J. Neuberg, wo auf ältere Arbeiten von Mannheim
und d'Ocagne iber casselbe Thema hingewiesen wird.
2) Salmon-Fiedler, Höhere ebene Curven, II. Aufl. (Leipzig 1882) S. 129.