Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünftes Kapitel: Die Parallelkurven. 647
Kreise. Der innere hat je nach der Gröfse von c ganz verschiedene
b2 b2
Gestalt: wenn 1) c< -, so ist er ellipsenähnlich. 2) c =-, ellipsenähnlich mit zwei dreifachen Punkten auf der grofsen Axe, die aber
äufserlich nicht erkennbar, sich nur durch eine scharfe Biegung verb
raten. 3) b > c>-, mit zwei Doppelpunkten auf der grofsen Axe
und vier reellen Spitzen. 4) c = b, vier Spitzen und ein Berührungsknoten im Mittelpunkte. 5) a>c> b, vier reelle Spitzen. 6) c==a,
vier Spitzen und ein Berührungsknoten, aber mit der kleinen Axe
als Doppeltangente. 7) a<c<- b, vier Spitzen und zwei Doppelpunkte auf der kleinen Axe. 8) c= —, zwei dreifache Punkte wie
im Falle 2) aber auf der kleinen Axe. 9) c —, die Kurve hat
wieder ellipsenähnliche Gestalt, die bei wachsendem c in Kreisform
übergeht. In den letzten Fällen, wenn 2a>c>2b, wird der Zweig
sogar die Ellipse schneiden1); wenn c = 2a berührt er sie, und wenn
c > 2a liegt der innere Zweig ganz aufserhalb der Ellipse.
Die Gleichung (6) ist so kompliziert, dafs sie wenig geeignet ist,
für die Untersuchung der Toroide benutzt zu werden. Besser ist es
schon die Gleichungen (5') nach x und y aufzulösen, wobei man
folgende beiden Ausdrücke erhält
i/ 2 M- + 2b n (
also eine parametrische Darstellung. Auch folgende analytische Darstellung kann man anwenden. Es sei P1 (xl, yl) ein Punkt der Ellipse,
P(x, y) der entsprechende der Toroide; da die Strecke P P- c und
normal zur Ellipse ist, so bestehen folgende Gleichungen:
^-^ {y —x1 __ y-y1
(x- 1)2 H- (y-yi)2 _ c2-, bx1 y-
und daher ist
bScx1 a2cy.(
x x, + - - =y +_ ~ ~ (8)
- /a4i2+b4 i2 y2i +-b 4i2l
Nehmen wir das +Zeichen, so erhalten wir den äufseren Kurventeil,
das -Zeichen, den inneren. Zu beachten ist noch, dafs die xl, y
durch die Gleichung ö-|- + bY~- - 1 miteinander verknüpft sind; daher
kann man setzen x == a cos aG, y -- b sin oG, und dann schreiben
1) Dafs sich zwei parallele Kurven schneiden, und dafs die eine Spitzen
hat, während die andere kontinuierlich verläuft, erscheint geradezu paradox.
Dieser Widerspruch klärt sich dadurch auf, dafs die Parallelkurven ihrer innern
Natur nach Tangentengebilde sind; für eine Kurve als Tangentengebilde aber
ist eine Spitze keine Singularität, weil ja in einem solchen Punkte die
Tangente sich kontinuierlich weiter bewegt. (Anm. d. Übers.)