Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Viertes Kapitel: Verallgemeinerungen der Evoluten u. Evolventen. 639
nehmen wir nun 0 als Anfangspunkt, nennen x, y die Koordinaten
von P, und X, Y die von 1, so haben wir
X2 + Y2 +./(X-x)2 + (y-2 = t- s.. (22)
Da aber die Gerade PM Tangente an X im Punkte P ist, so ist
Y-Y '
X -x '....... (23)
wo y' die Ableitung von y nach x sich aus der bekannten Gleichung
von X berechnen läfst. Nun kann man aus (22) und (23) X und Y
in Funktionen von x, y ableiten; setzt man noch zur Abkürzung
(l-s)2 - (x2+ -y2) =- t, so erhält man
X= -,, Y y- y.... (24)
welche Gleichungen zur Bestimmung der Kurve F dienen können,
wenn X und 0 gegeben sind. - Bevor wir hieraus einige Folgerungen ziehen, wollen wir bemerken, dafs, wenn man, auf der Verlängerung von MP, MN= MO nimmt, PN- PM — MN== PM
+ MO 1 -s wird; daher sind die Koordinaten von X
+ -)-s)dx
dx ds~
x + (I - s),ds 2 y + (I - s) ds'
oder +(1 1 —s)
infolgedessen lautet die Gleichung der Geraden ON:
y Y +- (-)... (2..)
x (25)
X 1
x +(1-s) -
Nachdem dies festgesetzt, wollen wir die Tangente in M an die
Kurve r aufsuchen; es genügt hierzu ihren Neigungskoeffizienten zu
bestimmen. Nun ergeben die Gleichungen (24)
t*="; Y' =" (y" y - Yy),
1'=KF2( y' — 1 '
daher ist y y,' y"
X' (/~"
oder, wenn für i sein Wert gesetzt wird:
y, x + (1- s)
y
y + (1-s)
Da die rechte Seite dieser Gleichung reziprok und entgegengesetzt dem
Neigungskoeffizienten der durch Gleichung (25) dargestellten Geraden
ON ist, so folgt, dafs die Gerade m, Tangente der Kurve F in M
nichts anderes ist, als das von M auf ON gefällte Lot; diese Tangente