Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

634 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
da die entsprechende charakteristische Gleichung die Wurzeln -- tg ßl,
- tg 12,...., — tg ßni hat, so haben, wenn die ß alle verschieden sind,
die entsprechenden Kurven die natürliche Gleichung
k=n
R=,2 e,...... (12)
k=I
wo die C beliebige Konstanten sind. Wenn hingegen 3i= -- =..*
= p, = 13, so erhält man die Kurve
IR - (^GIe ft.,...(12')
k=O
Als zweite Anwendung wollen wir eine Kurve r von der Art
aufsuchen, dafs ihre nte Evolutoide eine ihr ähnliche Kurve sei unter
der Voraussetzung, dafs Pl- = ß- === - =... = ß,= ß, und dafs bei
der vorausgesetzten Ähnlichkeit einem beliebigen Punkte von r auch
gerade der Punkt entspricht, den man durch n-malige Anwendung des
Reaunmur'schen Satzes erhält. Da in einem solchen Falle IR )= R
ist, so wird die Gleichung (10) zu
du^ } co0 v /
d7, (1lertsi) -9 0n (Be t) _ 0;
da dies eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten in Reg"l
ist, und da con -- ihre charakteristische Gleichung ist, so erhält
cosn p
man die allgemeine natürliche Gleichung der gesuchten Kurven als
k=n C
wo Ö/t die nle arithmetische Wurzel der Zahl a darstellt. - In ähnlicher Weise läfst sich das allgemeine Problem lösen, bei welchem
die Winkel ß alle verschieden sind, wie der Leser aus der oben
citierten Abhandlung von Häton de la Goupilliere ersehen kann.
257. Eine andere Art, die hier besprochene Theorie zu behandeln, ist folgende'): Es sei eine beliebige Kurve C gegeben; in
einem beliebigen Punkte C derselben ziehe man die Tangente t und
bestimme eine Kurve r, welche die Trajektorie des Winkels A aller
Geraden t ist. Alsdann ist C die Enveloppe aller zur Kurve r unter
einem Winkel von X schiefen Geraden, mit anderen Worten die Evolutoide des Winkels L von F, daher ist umgekehrt r die inverse
Evolutoide in Bezug auf denselben Winkel A. Wenn 2 gegeben
ist, giebt es noch unendlich viele inverse Evolutoiden von C; durch
1) Vorgeschlagen vom Verfasser H. Herwig in seiner Dissertation, Über
Trajectorien zu den Tangenten ebener COveen (Göttingen 1867).