Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Viertes Kapitel: Verallgemeinerungen der Evoluten u. Evolventen. 629
bildet; die Enveloppe der Geraden U- 0 ist also die Evolutoide rF
mit dem Winkel cc der Kurve r. In ähnlicher Weise umhüllt die
Gerade F - U cosp + U' sin = 0
die Evolutoide der Kurve ra mit dem Winkel fi; der Analogie folgend können wir sie mit Fr,, bezeichnen. Setzen wir nun in diese
letzte Gleichung für U seinen Wert, so wird diese zu
- T cos a cos p + T' sin (c + ) + T" sin a. sin = 0.
Die Funktion V ist also symmetrisch in a und ß, woraus folgt, dafs
man zu der Kurve Fra" auch gelangt sein würde, wenn man die Evolutoide des Winkels a von der Kurve r aufgesucht hätte. Diese
wichtige Thatsache, die man als den Lancret'schen Satz zu bezeichnen pflegt, kann man in die Worte kleiden: Die Evolutoide P,,ist identisch mit der Evolutoide,e n1). Wenn man daher symbolisch mit rx,P,,y,... die Kurve bezeichnet, die entsteht, wenn man
die Evolutoide des Winkels ac von r, nämlich ra konstruiert, hierauf
die des Winkels ß von Fr, nämlich FE,, und so weiter, so kann
man die Winkel cc, fy y... permutieren, ohne dafs die entstehende
Kurve geändert wird.
Die Gleichung U 0 lautet ausführlich geschrieben
y cos (r + a) -- x sin(+ c o) == ) + sin a '"(),
oder auch, wenn man
r +a = 8, cos a - f(O - a) + sin cf(o - ca) = F(O)
setzt, y cos 0 - x sin 0 = F(O).
Wenn man nun mit Rc, den Krümmungsradius von ra bezeichnet (sowie mit? den von 1) und einige der Nr. 252 gewonnenen Resultate
benutzt, so erhält man
R, = F(O) + F" (0) = cos af(0 - a) + sin a (0 - a)
+ cosc f" (0 - a) + sin f"' ( - a)
- cos. [f() + f" ()] + sin a - [f(r) + f"()].
Nun ist f'() + f"(Xr)= -, folglich ist
dR
R, =R cos d sin;..... (4)
diese elegante Beziehung ist unter dem Namen der Habich's che n
Formel bekannt2). Will man sie mit dem Winkel in Beziehung
bringen, den die Tangente der Evolutoide (nicht mit der Tangente,
1) Einen geometrischen Beweis dieses Satzes findet man in der Note von
Haton de la Goupilliere, sur la theorie des developpoides (Bull. de la Soc.
math. de France, V, 1896-97).
2) Les Mondes, XIX, 1869, S. 33.