Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Evoluten und Evolventen. 621
Punkt M einer ebenen Kurve die successiven Evolventen-Krümmungsradiein RiB 2, RB,..., so giebt es in ihrer Ebene einen ausgezeichneten Punkt, für welchen die von ihm auf die zu M gehörende Tangente und Normale gefällten Lote die Längen R -Rs3
+- 5 -.* bezw. 1R2 -W/ + 2- 6 - * haben, vorausgesetzt, dafs
diese beiden Reihen unbedingt konvergieren. Ist dieser Punkt ein
bestimmter im Endlichen gelegener, so trägt er den Namen Kurvenpol
in Bezug auf den Punkt M.
252. Die Untersuchung der successiven Evoluten und Evolventen
kann auch in bequemer Weise nach einer anderen Methode ausgeführt
werden, deren erste Entdeckung W. P. Hiern') gebührt, die jedoch
erst seit 1869 weiteren Kreisen bekannt wurde durch J. A. Serret's
Cours de caicul differentiel et integral2) und darauf auch von anderen
angewendet wurde3); sie beruht auf Folgendem:
Es sei t der Winkel der Tangente der Kurve r mit der x-Axe,
dann wird der Abstand dieser Tangente vom Anfangspunkte eine gewisse Funktion f(,) von r sein, und die Tangente selbst kann dargestellt werden durch folgende, sogenannte magische Gleichung
der Geraden
U-y cos - x sinr- f()= 0..... (17)
Ist nun die Funktion f gegeben, oder beliebig festgelegt, und man
läfst r von - oo bis + oo variieren, so stellt Gleichung (6) die unendlich vielen Tangenten der entsprechenden Kurve r dar. Man kann
nun annehmen, dafs r selbst durch die Gleichung (17) dargestellt
werde; variiert man f, so werden damit sämtliche Kurven der Ebene
dargestellt. Um nun die Punktgleichung von P zu erhalten, genügt
es (17) mit ihrer Ableitung nach r zu kombinieren, also (indem wir
mit D die Differentiation nach r bezeichnen) mit folgender Gleichung
rüU ---ysinr — xcosr-f'(r) =0.... (18)
Die Gleichung U= 0 stellt eine Gerade dar, die durch den Berührungspunkt der Geraden U = 0 mit ihrer eigenen Enveloppe geht
und ist zu dieser Geraden senkrecht, folglich ist sie eine Normale
der Kurve r. Damit ist gezeigt, dafs in derselben Weise, wie U== 0
die Kurve r darstellt, die Gleichung Z U==0 die Evolute r, von 'r
darstellt. Die übliche Darstellung von Ir würde man also erhalten,
wenn man Gleichung (18) mit ihrer Abgeleiteten nach v kombiniert,
also mit der Gleichung:
2U — -- y cos + - x sin - f(r) =- 0....(19)
1) On the magical equtation to the tangent of a curve (Quart. Journ. VI, 1864).
2) S. Band I, S. 310 iff. der 2. Aufl. (Paris 1879).
3) Nicolai des, Analectes, ou Memoires et Notes sur les diverses parties
des mathematiques, VII Livraison (Athenes 1872); Mansion, Nouv. Corr. math.
I, 1874-75.