Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Evoluten und Evolventen. 617
somit kann man eine ganze Reihe von Kurven betrachten, unendlich
nach zwei Richtungen hin, und so beschaffen, dafs jede die Evolute
der vorhergehenden und die Evolvente der folgenden ist. Die analytische Darstellung einer derartigen Kurvenreihe macht sich äufserst
elegant, wenn man natürliche Koordinaten anwendet. Sind nämlich
B und s Krümmungsradius und Bogen von i, R1 und s1 die von rl,
E und E die bezüglichen Kontingenzwinkel, so erhält man:
d s 1 dEs 1
ds R ' ds R
offenbar ist aber dsl = dR, de1 = de,
ds __ d
und daher - 14
- R!;
daraus folgt, dafs R, R s - +.. (8)
wo c eine Konstante bedeutet, die man zweckmäfsig als Null annehmen kann, wenn der Anfangspunkt des Bogens auf der Evolute in
geeigneter Weise gewählt wird. Eliminiert nian vermittelst der G1. (1)
R und s aus der natürlichen Gleichung von Jr, f(RP, s) = 0, so bekommt man die natürliche Gleichung von 1r. Umgekehrt ergiebt
sich aus (8) - in welcher Gleichung wir c = 0 annehmen wollen -
18i ' ds,
R = s,, s -<.... (9)
und man kann alsdann durch eine Elimination die allgemeine Gleichung der Evolventen einer gegebenen Kurve ableiten.
Machen wir sogleich eine Anwendung von diesen Formeln. Die
Kurve r, sei ein Kreis mit dem Radius a; da hier Ri =- a, so folgt
81 2
aus (9) s = La- es ist aber s = R, daher ist die natürliche Gleichung der Evolvente eines Kreises
R2 - 2as,
welches Resultat mit dem schon (in Nr. 209) gefundenen übereinstimmt. Um die natürliche Gleichung der zweiten Evolvente desselben Kreises zu finden, haben wir also zu setzen iRi2= 2as1; die
Gleichung liefert dann
_ r/, 21 /8
S1 -/2a Jl/ /s ' ls1 3/2c'
oder da s== R 32
R3 = as,
und dies ist die natürliche Gleichung einer Spirale von Sturm oder
Norwich (s. Nr. 220). In ähnlicher Weise würde man die natürliche
Gleichung der dritten, vierten Evolvente u. s. w. erhalten können; eine