Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Evoluten und Evolventen. 615
b f a f
(X - x)- ( - y)) + /
v / cy v l7/ cy
gleich Null zu setzen. Somit entstehen die Gleichungen
(X- X) ax2 ( Y / Y) y 0x t
Eliminiert man hieraus;, so bestimmt man
_x-x- a^ a1- r-f)f f -2f af b2f 1
(X -(x) (.........
- (f 2 (af 2.3
Die Gleichung der Evolute entsteht nun durch Elimination von x, y
aus (1) (2) (3). Nun kann man die Gleichung (2) durch folgende
beiden ersetzen:
X= + x Y+y+ a,... (4)
alsdann liefert uns die Gleichung (3)
0 f a f af
(y\t2 /a2 ba2 bxay ba
bf af 0
x oy
Die Gleichungen (4) liefern die analytische Darstellung der Evolute,
vorausgesetzt dafs (1) erfüllt wird, und dafs e den durch (5) definierten
Wert hat.
Um nun die Ordnung n1 der Evolute aufzusuchen, kombinieren
wir die Gleichungen (4) (5) mit der einer beliebigen Geraden, nämlich
AX + +....... (6)
und erhalten
(Ax.-By + C) + B( + B )() A )+ ((A + )[ (7)
Hieraus ersieht man, dafs die gesuchte Ordnung n, gleich der Zahl
der variabelen Schnitte der Kurven (1) und (7) ist. Da nun die Kurven
(1) und (7) von den Ordnungen n bezw. 3(n -1) sind, so hat man
im allgemeinen n = 3n(n 1). Wenn aber der Anfangspunkt 0
1) ein Doppelpunkt ist, so hat auch die Kurve (7) daselbst einen
Doppelpunkt mit denselben Tangenten wie die ursprüngliche Kurve,
daher fallen 6 Schnittpunkte der beiden Kurven in 0; ist er aber
2) eine Spitze, so hat die Kurve (7) in 0 einen dreifachen Punkt
mit zwei in die Spitzentangente fallenden Tangenten; somit fallen
8 Schnitte der beiden Kurven in O. Hat daher die Kurve r d Doppel