Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

610 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Wenn die Bahn des Punktes A ein Kreis wäre, so würde die des
Punktes B eine Integralkurve der Gleichung
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L' - \dx J __dx________
dey l/ i h[d + (dyvxo 1 y t dyG
dx' d dx
sein, wo co die Winkelgeschwindigkeit von A, b die Geschwindigkeit
von B, und a der Radius des gegebenen Kreises istl); diese Differenzialgleichung ist jedoch noch nicht integriert worden.
250. Mit den verschiedenen Verallgemeinerungen, welche der
Begriff der Verfolgungskurven, insbesondere durch C. Sturm2) und
E. Cesäro3) erfahren hat, wollen wir uns nicht aufhalten; dagegen
erscheint es uns angebracht, hier ein geometrisches Problem mitzuteilen, welches von der Verfolgungskurve der Geraden gelöst wird,
zumal es uns mit einer neuen analytischen Darstellung, sowie mit verschiedenen Eigenschaften dieser Kurve bekannt macht. Das Problem,
um das es sich handelt, ist folgendes: "Eine Kurve r zu finden, von
der Art, dafs zwei beliebige Tangenten derselben auf einer gegebenen
Geraden eine Strecke ausschneiden, die in einem bestimmten Verhältnisse zu dein von den Berührungspunkten begrenzten Bogen
stehen" 4).
Es seien (Taf. XVI, Fig. 133) t und t' zwei beliebige Tangenten
von r, P und P' die Berührungspunkte, 1 und I' die Schnitte mit
der gegebenen Geraden r. Nach der Annahme ist dann, wenn das
bestimmte Verhältnis mit n bezeichnet wird, arc PP': II'= n;
wenn nun der Punkt I gleichförmig die Gerade r durchläuft, so mufs
dieses ebenso der Punkt P auf r thun, während immer die Tangente
auf den Punkt I gerichtet ist; damit ist hinlänglich bewiesen, dafs r
die Verfolgungskurve der Geraden r ist.
Die so erhaltene neue Definition unserer Kurve führt auch leicht
zu ihrer analytischen Darstellung. Wir bezeichnen mit Po einen festen
Punkt von r und mit t1 die zugehörige Tangente und mit Io den
Schnitt von to mit r; wir setzen ferner PoP = s, II = e und be1) S. eine von Brocard 1877 in der Nouv. Corresp. Math. und von neuem
1883 in Mathesis vorgelegte Frage, die 1886 von Keelhoff (Mathesis VI) gelöst wurde.
2) Extension du probleme des courbes des poursuite (Ann. de Math. XIII,
1822-23).
3) Proprietes d'une courbe de poursuite (Nouv. Ann. de Math., 3e Ser. II,
1883); Sur les lignes de poursuite (Das. V, 1886); Les lignes barycentriques (Ebendas.).
4) Für das Folgende s. F. Gaufs, Ueber Curven, welche die Eigenschaft
haben, dafs je zwei Tangenten aus einer gegebenen Geraden eine Strecke ausschneiden, welche zu dem von den Berührzungspunkten begrenzten Bogen in einem
gegebenen Verhältnisse stehen (Progr. Bunzlau, 1890).