Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

25. Kapitel: Andere mathematisch-physikalische Kurven. 589
Fünfundzwanzigstes Kapitel.
Andere mathematisch-physikalische Kurven.
240. Läfst man zwischen zwei Punkten 1, und XM einer ebenen
Kurve einen elektrischen Strom von der Stärke 1 fliefsen, so übt
dieser auf einen in der Ebene der Kurve gelegenen Punkt 0, in
welchem sich die Einheit der magnetischen Masse befindet, eine Kraft.
aus, deren Richtung normal zur Ebene des Stromes ist, und deren
GCröfse durch f ~_ ausgedrückt wird, wo 0, co gewöhnliche Polarkoordinaten mit 0 als Pol sind. Es soll nun diejenige durch M1
und MX gehende Kurve von gegebener Länge L gesucht werden, für
welche diese Wirkung auf 0 ihren gröfsten oder kleinsten Wert erhält. Zu dem Zwecke genügt es, das obige Integral zu einem Maximum
oder Minimum werden zu lassen. Mit Anwendung der Variationsrechnung gelangt man zu folgender Differenzialgleichung der gewünschten Kurve:
^ o= ( o... (. 1)
wo Zk eine Konstante ist. Bezeichnen wir nun mit 1R den Krümmungs1
radius, so ist die linke Seite =- --, daher kann man schreiben
=.R;........ (2)
folglich: Die Kurve von grifster oder kleinster elektromagnetischer
Wirkung auf einen festen Punkt ist von der Beschaffenheit, dafs der
Krümmungsradius in jedem Punkte proportional dem Kubus des zugehörigen Radius vector ist, der von deim festen Punkte ausgeht.
Emil Weyr, der diesen eleganten Satz aufstellte, hat auch die Gl. (1)
integriert, wobei er als Resultat erhieltl)
= a.;..... (3)
der Leser wird dieses verifizieren können, indem er die Formeln anwendet, die eine Kurve, die durch eine Relation zwischen dem
Krümmungsradius und dem Radius vector dargestellt wird, bestimmen
(vgl. Nr. 220). Die so erhaltene Kurve kann die elektromagne1) Ueber die Curve der gröifsten und kleinsten elektromagnetischen WTirkung
(Prager Ber., 1869).