Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

23. Kapitel: Die ebene Elastizitätskurve, die paracentr. Isochrone etc. 585
elliptischen Funktionen; da nun die Resultate ein verschiedenes Aussehen erhalten, je nach der relativen Gröfse von a und c, so erhält
man dementsprechend auch verschiedene Formen der Elastitätskurve1).
238. Eine andere ältere Aufgabe, die ebenfalls zu elliptischen
Funktionen führt, wurde im Jahre 1687 von Leibniz gestellt: "die
Kurve aufzusuchen, längs derer sich ein aus einer gegebenen Höhe
fallender, schwerer Punkt bewegt, indem er sich zugleich einem festen
Punkte nähert oder sich von ihm entfernt, derart, dafs sein Abstand
von diesem der Zeit proportional sei." Die Kurve wurde von Leibniz
selbst die paracentrische Isochrone genannt2) und von Leibniz3)
und den beiden Brüdern Jacob4) und Johann5) Bernoulli bestimmt.
Wenn sie eben ist, so wird sie geometrisch durch die Differenzialgleichung dx dy (
a 2 3...... (6)
j/x ~ /a y- ya
bestimmt, woraus sich leicht ableiten läfst, dafs sie einem Systeme mit den
Charakteristiken = 2, v = 3 angehört. Eine methodische Bearbeitung
der paracentrischen Isochrone steht, wenigstens soweit wir fetstsellen
konnten, noch aus; wir beschränken uns daher auf die Bemerkung,
dafs, wenn man mit dt den gemeinsamen Wert der beiden Seiten der
Gleichung (6) bezeichnet und die Integrationskonstanten in geeigneter
Weise wählt, man
T,./ \ (7)
und damit eine elegante parametrische Darstellung der Kurve erhält.
Zu einer anderen Kurve führt die Lösung eines der ältesten
Probleme aus der Variationsrechnung; es lautet: Diejenige ebene Kurve
zu finden, die durch zwei gegebene Punkte geht und durch Rotation
um eine in ihrer Ebene gelegene Axe denjenigen Körper erzeugt,
der bei der Bewegung in einer Flüssigkeit in der Richtung jener
Axe den geringsten Widerstand erleidet. Newton behauptet in
seinen Principia (Lib. II, Sect. VII, Prop. 34), dafs die Differenzialgleichung der dies Problem lösenden Kurve folgende sei:
y=a (1 + Y )2(8)
y /;y......... (8)
1) Schell, Theorie der Bewegungen und der Kräfte II. (2. Aufl. Leipzig
1880) S. 119-126; Greenhill, Applications of elliptic functions (London 1892)
S. 87-89.
2) Brief von Leibniz an Huygens vom 1./11. Okt. 1693 (Leibniz, ed. Gerhardt,
II, S. 164).
3) Constructio propria problematis de curva isochrona paracentrica (Acta
Erud. 1694; Leibniz, ed. Gerhardt, V, S. 309).
4) Acta Erud. Juni u. Sept. 1694 (Jac. Bernoulli Opera I, S. 601-12).
5) Acta Erud. Oct. 1694 (Joh. Bernoulli Opera I, S. 119-122). Lectiones
mathemnaticae XXIV. (Opera III, S. 486).