Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Cirkulare Kurven dritter Ordnung. 35
Eine dritte Gruppe wird gebildet von den cirkularen und
rationalen Kurven; nimmt man zwei rechtwinklige Axen, die den
Doppelpunkt als Koordinatenanfang haben, so hat man für die Kurve
folgende Gleichung:
(x2 + y2) (ax + ßy) + ax2 + 2hxy + by2 =.. (9)
Diese führt zu folgender parametrischen Darstellung
a _ -2hl - b;2 a _ + q- 2h - +b 2
( 1~ + X) ( - + V )~ ~( t + A ) ( + a p A
Aus dieser folgt, dafs ein beliebiger Kreis, der durch den Koordinatenanfang geht, also durch eine Gleichung von folgendem Typus dargestellt wird: x2 _ y2_ 2x 2ny = 0,
die Kurve noch in zwei Punkten trifft, die durch die Gleichung bestimmt werden:
(a + 2at) + 2A (h + 3 + )(b + +2b) 2' = 0;
damit nun diese beiden Punkte zusammenfallen, mufs sein
(p3 - ~X)2 + 2 (h - ba) + 2 (ha -- aß) X + (h2 - ab) = 0.
Diese Gleichung in t und N stellt eine Parabel dar; nennt man nun
den Ort der Mittelpunkte derjenigen Kreise, die durch den Doppelpunkt einer rationalen eirkularen Kurve dritter Ordnung gehen und
sie anderswo berühren, Nebenevolute, so folgt: Die Nebenevolute
einer rationalen cirkularen Kurve dritter Ordnung ist eine Parabel. ).
Zu dieser Gruppe gehört auch die Kurve mit der Gleichung
3 - 6px2 -+ xy2 + p2 x - 4pa = 0,
deren Konstruktion durch zwei Hyperbeln Varignon angegeben hat2)
und welche er zur Untersuchung der Wendepunkte Rolle vorlegte im
Verlaufe der bekannten Disputation, die zwischen diesen berühmten
Mathematikern über den Wert der Infinitesimal-Methode statt fand.
Varignon nannte sie Conchoide, weil sie eine Ähnlichkeit in der
Gestalt mit der Konchoide des Nikomedes (s. Abschn. III, Kap. 5)
aufweist.
1) Dieser Satz für den Spezialfall der Cissoide findet sich in M-. Simon,
Analytische Geometrie (Leipzig, Göschen 1900) S. 283.
2) S. den an Leibniz gerichteten Brief v. 23. Mai 1702, veröffentlicht in
Leibniz von Gerhardt, IV (Halle 1859) S, 101.