Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

23. Kapitel: Die ebene Elastizitätskurve, die paracentr. Isochrone etc. 583
kurve nennt. Auch diese Kurve wurde von Galilei mit Unrecht für
eine Parabel gehalten; Jacob Bernoulli aber zeigte, dafs diese Identifizierung irrig sei, und gelangte zu einer geometrischen Charakterisierung der fraglichen Kurve. Er fand aufserdem, dafs diese Kurve
nur das Profil der Gestalt sei, die eine vollkommen biegsame Fläche,
z. B. ein Tuch annimmt, wenn es, an zwei Seiten horizontal befestigt,
durch eine schwere Flüssigkeit belastet wird, daher der Name Muldenkurve (Lintearia), den die Elastizitätskurve erhielt, und der mehrfach
noch im Gebrauch ist ). Später beschäftigte sich auch Johann
Bernoulli mit dieser Kurve2), Daniele fand, dafs die Kurve der BeyZs
dingung genüge, dafs f ein Minimum werde, wenn s wie gewöhnlich den Bogen, R den Krümmungsradius bedeutet. Diese Beobachtung veranlafste Euler,die Kurven aufzusuchen, die durch zwei gegebene Punkte gehend und daselbst zwei gegebene Geraden berührend,
gr zu einem Minimum machen". Vollständig gelöst findet sich
diese Aufgabe in dem berühmten Werke Metwhocus inveniendi lineas
curvas maxima minimave proprietate gaudentes (Lausannae et Genevae
1744), dessen Appendix I der Klassifikation der Elastizitätskurven in
neun Typen gewidmet ist. Derselbe berühmte Geometer hat ferner
bemerkt, dafs von allen ebenen Kurven, die denselben Umfang haben
und dieselbe Fläche einschliefsen, die Elastitätskurve diejenige ist,
welche durch Rotation um eine in ihrer Ebene liegende Gerade ein
Maximum oder Minimum des Volumens erzeugt.
Durch Betrachtungen aus der Mechanik3), die unserem Thema
fern liegen, läfst sich zeigen: Bei der Elastizitätskurve ist die Krümmung proportional der Differenz zwischen einer Konstanten und der
Abscisse; ihre Differenzialgleichung ist demnach von folgender Gestalt
d2y
c2 -- s a C- x.. o * (1)
1) S. die wichtige Abhandlung Curvatura laminae elasticae. Ejus idenztitatem cur curvatarc&a lintei a pondero inclusi fluzidi expanso (Acta Erud. Juni 1694;
Jac. Bernoulli Opera, S. 639); aufserdem die Explicationes, annotationes et additiones (Acta Erud. Dez. 1695; Opera, S. 663); schliefslich die Arbeit Veritable
hypothese de la resistance des solides avec la demonstration de la courbure des
corps qui font les ressorts (Mem. de Paris, MDCCV; Opera, S. 976).
2) Solutio problematis curvaturae laminae elasticae a pondere appenso curvatae (Joh. Bernoulli Opera, IV, S. 242). Vgl.: Lacroix, Traite de Calcul differentiel et de Calcul integral II. (Paris 1798) S. 713-714 und Caluso, De la
courbe elastique (Torino Mem. 1805-1808).
3) S. z. B. Poisson, Traite de m'canique I. (2. Aufl. Paris 1833) S. 598.