Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

34 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
den Falle müfste man in der vorigen Gleichung c 0 setzen. Die
Gleichungen (4) und (5) werden dann
yQ(x2+y2+Cay-+2f)+x(ax+2g)=O (4'); x=-, y=-a (5')
Demnach ergiebt sich (4') durch Elimination von A aus den Gleichungen
x=-y, q - lV - a2 2; l+2f, 1 2
X y ( + -^-) + a + 2 t + 2 - 2gi- 2/
woraus folgt: Jede cirkulare Kurve dritter Ordnung, welche ihren
aufserordentlichen Brennpunkt selbst enthält, läfst sich erzeugen
durch ein Strahlenbüschel, welches eben jenen Brennpunkt zum
Scheitel hat und ein projektives Kreisbüschel, indem der Mittelpunkt
eines jeden Kreises des Büschels auf dem entsprechenden Strahl und
auf der Mediane der Kurve liegt.
Eine andere bemerkenswerte Gruppe von cirkularen Kurven dritter
Ordnung ist diejenige, die gebildet wird von solchen, die symmetrisch in Bezug auf eine Axe sind; nehmen wir diese als x-Axe
und als Anfang den reellen Punkt, in welchem sie die Kurve schneidet,
so kann man als allgemeine Gleichung derselben folgende nehmen:
x(x2 + y2) + ax2 + by + ex -=... (8)
Gehen wir nun zu Polarkoordinaten über, so erhalten wir die andere:
a cos2 o +- b sin2 r 0
cos co
Setzen wir zunächst voraus, dafs c== 0; nennen wir nun die Wurzeln
dieser Gleichung Q, und 92, so haben wir, ' 2 = c, und daher wird
die Kurve (8) in sich selbst transformiert durch eine Inversion, die
zum Centrum den Koordinatenanfang und zur Potenz c hat'). Zwei
andere analoge Inversionen giebt es, wenn die Kurve von der Symmetrieaxe in zwei weiteren reellen Punkten geschnitten wird. -
Wenn c = 0, kann man die Gleichung (8) durch folgende ersetzen:
(x - a) (X2 + y2) + bx2 = 0;
die so dargestellte Kurve wird in Italien2) Pereissoide genannt,
wenn a> b, und Ipocissoide, wenn a < b; im besonderen Falle,
wenn a = + b, ist sie eine gemeine Cissoide resp. die Begleitkurve
derselben (vgl. Nr. 24).
1) Daraus ergiebt sich, dafs die Tangenten an die Kurve in den beiden
Punkten, die auf einer Geraden durch den Koordinatenanfang liegen, mit dieser
Geraden gleiche Winkel bilden.
2) Man sehe den ~ 22 der Abhandlung yvon E. Cavalli, Le figque reciproche e la trasformaCzione quadratica nella ciinematica. (Napoli Mem. 2. Serie,
IX, 1899).